cis es una notación matemática definida por cis x = cos x + i sen x , donde cos es lafunción coseno , i es la unidad imaginaria y sin es lafunción seno . La notación se usa con menos frecuencia que la fórmula de Euler , e ix , que ofrece una notación aún más corta y general para cos x + i sen x .
Descripción general
La notación cis es una forma abreviada de la combinación de funciones en el lado derecho de la fórmula de Euler :
donde i 2 = −1 . Entonces,
es decir, " cis " es un acrónimo de " Cos I Sin ".
La notación cis fue acuñada por primera vez por William Rowan Hamilton en Elements of Quaternions (1866) [4] [5] y posteriormente utilizada por Irving Stringham en obras como Uniplanar Algebra (1893), [6] [7] o por James Harkness y Frank Morley en su Introducción a la teoría de las funciones analíticas (1898). [7] [8] Conecta funciones trigonométricas con funciones exponenciales en el plano complejo mediante la fórmula de Euler .
Se usa principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones, [9] [10] [11] por ejemplo junto con las transformadas de Fourier y Hartley , [12] [13] [14] o cuando las funciones exponenciales no deberían ser utilizado por alguna razón en la educación matemática.
En la tecnología de la información, la función ve soporte dedicado en diversas librerías matemáticas de alto rendimiento (como Intel 's Math Kernel Library (MKL) [15] ), disponible para muchos compiladores, lenguajes de programación (incluyendo C , C ++ , [16] Común Lisp , [17] [18] D , [19] Fortran , [20] Haskell , [21] Julia [22] ) y sistemas operativos (incluidos Windows , Linux , [20] macOS y HP-UX [23] ) . Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente dos veces más rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente. [19] [3]
Identidades matemáticas
Derivado
- [1] [24]
Integral
- [1]
Otras propiedades
Estos se derivan directamente de la fórmula de Euler .
- [25]
Las identidades anteriores espera si x y y son números complejos. Si X y Y son reales, entonces
- [25]
Historia
Esta notación fue más común en la era posterior a la Segunda Guerra Mundial, cuando se usaban máquinas de escribir para transmitir expresiones matemáticas.
La notación cis se usa a veces para enfatizar un método de ver y tratar un problema sobre otro. [26] Las matemáticas de la trigonometría y las exponenciales están relacionadas pero no son exactamente iguales; la notación exponencial enfatiza el todo, mientras que las notaciones cis x y cos x + i sen x enfatizan las partes. Esto puede ser retóricamente útil para matemáticos e ingenieros al discutir esta función, y además sirve como mnemónico (para cos + i sin ).
La notación cis es conveniente para los estudiantes de matemáticas cuyos conocimientos de trigonometría y números complejos permiten esta notación, pero cuya comprensión conceptual aún no permite la notación e ix . A medida que los estudiantes aprenden conceptos que se basan en conocimientos previos, es importante no forzarlos a niveles de matemáticas para los que aún no están preparados: la prueba habitual de que cis x = e ix requiere cálculo , que el estudiante puede no haber estudiado antes de encontrarlo. la expresión cos x + i sen x .
En 1942, inspirado por la notación cis , Ralph VL Hartley introdujo la función cas (para coseno y seno ) para el kernel de Hartley de valor real , un atajo establecido entretanto junto con las transformadas de Hartley : [27] [28]
Ver también
- La fórmula de De Moivre
- Fórmula de Euler
- Número complejo
- Teorema de ptolomeo
- Fasor
- Versor
Referencias
- ↑ a b c Weisstein, Eric W. (2015) [2000]. "Cis" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 27 de enero de 2016 . Consultado el 9 de enero de 2016 .
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[…] Cos […] + i pecado […] ocasionalmente resumiremos a lo siguiente: […] cis […]. En cuanto a las marcas […], deben considerarse como disponibles principalmente para la presente exposición del sistema, y como no deseadas ni empleadas con frecuencia en la práctica posterior del mismo; y la misma observación se aplica al reciente abrigdement cis, porque cos + i sin […]
( [1] , [2] [3] ) (NB. Este trabajo fue publicado póstumamente, Hamilton murió en 1865.) - ^ Hamilton, William Rowan (1899) [1 de enero de 1866]. Hamilton, William Edwin ; Joly, Charles Jasper (eds.). Elementos de cuaterniones . I (2 ed.). Londres, Reino Unido: Longmans, Green & Co. p. 262 . Consultado el 3 de agosto de 2019 .
[…] Abreviado cis reciente para cos + i sin […]
(NB. Esta edición fue reimpresa por Chelsea Publ. Co. en 1969.) - ^ Stringham, Irving (1 de julio de 1893) [1891]. Álgebra Uniplanar, siendo parte 1 de una propédeutica para el análisis matemático superior . 1 . CA Mordock & Co. (impresor) (1 ed.). San Francisco, Estados Unidos: The Berkeley Press . págs. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Consultado el 18 de enero de 2016 .
Como abreviatura de cos θ + i sen θ es conveniente utilizar cis θ , que se puede leer: sector de θ .
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Stringham denotó cos β + i sen β por "cis β ", una notación también utilizada por Harkness y Morley .
(NB. ISBN y enlace para la reimpresión de la segunda edición de Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013). - ^ Harkness, James ; Morley, Frank (1898). Introducción a la teoría de las funciones analíticas (1 ed.). Londres, Reino Unido: Macmillan and Company . págs. 18 , 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. Consultado el 18 de enero de 2016 . (NB. ISBN para reimpresión de Kessinger Publishing, 2010.)
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[…] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. In anderen Büchern wird dafür oft der Ausdruck cis (φ) anstelle von e iφ verwendet. […]
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