Abraham de Moivre ( pronunciación francesa: [abʁaam də mwavʁ] ; 26 mayo 1667 hasta 27 noviembre 1754) fue un matemático francés conocido por de la fórmula de Moivre , una fórmula que vincula los números complejos y trigonometría , y por su trabajo en la distribución normal y teoría de la probabilidad .
Abraham de Moivre | |
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Nació | |
Fallecido | 27 de noviembre de 1754 | (87 años)
Nacionalidad | francés |
alma mater | Academia de Saumur Collège d'Harcourt |
Conocido por | Fórmula de De Moivre Teorema de de Moivre-Laplace |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Influencias | Isaac Newton |
Se mudó a Inglaterra a una edad temprana debido a la persecución religiosa de los hugonotes en Francia que comenzó en 1685. [1] Era amigo de Isaac Newton , Edmond Halley y James Stirling . Entre sus compañeros hugonotes exiliados en Inglaterra, fue colega del editor y traductor Pierre des Maizeaux .
De Moivre escribió un libro sobre teoría de la probabilidad , The Doctrine of Chances , que se dice que ha sido apreciado por los jugadores. De Moivre descubrió por primera vez la fórmula de Binet , la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci que vincula la n- ésima potencia de la proporción áurea φ al n- ésimo número de Fibonacci. También fue el primero en postular el teorema del límite central , una piedra angular de la teoría de la probabilidad.
La vida
Primeros años
Abraham de Moivre nació en Vitry-le-François en Champagne el 26 de mayo de 1667. Su padre, Daniel de Moivre, era un cirujano que creía en el valor de la educación. Aunque los padres de Abraham de Moivre eran protestantes, primero asistió a la escuela católica Christian Brothers en Vitry, que era inusualmente tolerante dadas las tensiones religiosas en Francia en ese momento. Cuando tenía once años, sus padres lo enviaron a la Academia Protestante de Sedan , donde pasó cuatro años estudiando griego con Jacques du Rondel. La Academia Protestante de Sedan fue fundada en 1579 por iniciativa de Françoise de Bourbon, la viuda de Henri-Robert de la Marck.
En 1682 se suprimió la Academia Protestante de Sedan y De Moivre se matriculó para estudiar lógica en Saumur durante dos años. Aunque las matemáticas no formaban parte de su trabajo de curso, de Moivre leyó varios trabajos sobre matemáticas por su cuenta, incluidos Éléments des mathématiques del sacerdote y matemático oratoriano francés Jean Prestet y un breve tratado sobre juegos de azar, De Ratiociniis in Ludo Aleae , de Christiaan. Huygens, el físico, matemático, astrónomo e inventor holandés. En 1684, de Moivre se trasladó a París para estudiar física y, por primera vez, recibió una formación matemática formal con lecciones privadas de Jacques Ozanam .
El 25 de noviembre de 2017, el Dr. Conor Maguire organizó un coloquio en Saumur, con el patrocinio de la Comisión Nacional Francesa de la UNESCO , para celebrar el 350 aniversario del nacimiento de Abraham de Moivre y el hecho de que estudió durante dos años en el Academia de Saumur . El coloquio se tituló Abraham de Moivre: le Mathématicien, sa vie et son œuvre y cubrió las importantes contribuciones de De Moivre al desarrollo de números complejos, ver la fórmula de De Moivre , ya la teoría de la probabilidad, ver el teorema de De Moivre-Laplace . El coloquio trazó la vida de De Moivre y su exilio en Londres, donde se convirtió en un amigo muy respetado de Isaac Newton. No obstante, vivió con medios modestos que generó en parte por sus sesiones de asesorar a los jugadores en Old Slaughter's Coffee House sobre las probabilidades asociadas con sus esfuerzos. El 27 de noviembre de 2016, el profesor Christian Genest de la Universidad McGill (Montreal) marcó el 262 aniversario de la muerte de Abraham de Moivre con un coloquio en Limoges titulado Abraham de Moivre: Génie en exil que discutió la famosa aproximación de De Moivre a la ley binomial que inspiró el teorema del límite central.
La persecución religiosa en Francia se agravó cuando el rey Luis XIV emitió el Edicto de Fontainebleau en 1685, que revocó el Edicto de Nantes , que había otorgado derechos sustanciales a los protestantes franceses. Prohibía el culto protestante y requería que todos los niños fueran bautizados por sacerdotes católicos. De Moivre fue enviado a Prieuré Saint-Martin-des-Champs, una escuela a la que las autoridades enviaron a niños protestantes para adoctrinarlos en el catolicismo.
No está claro cuándo de Moivre dejó el Prieuré de Saint-Martin y se mudó a Inglaterra, ya que los registros del Prieuré de Saint-Martin indican que dejó la escuela en 1688, pero de Moivre y su hermano se presentaron como hugonotes admitidos en el Savoy Church en Londres el 28 de agosto de 1687.
Años intermedios
Cuando llegó a Londres, de Moivre era un matemático competente con un buen conocimiento de muchos de los textos estándar. [1] Para ganarse la vida, de Moivre se convirtió en tutor privado de matemáticas , visitando a sus alumnos o enseñando en los cafés de Londres. De Moivre continuó sus estudios de matemáticas después de visitar al conde de Devonshire y ver el reciente libro de Newton , Principia Mathematica . Al mirar el libro, se dio cuenta de que era mucho más profundo que los libros que había estudiado anteriormente, y se decidió a leerlo y comprenderlo. Sin embargo, como tenía que dar largos paseos por Londres para viajar entre sus alumnos, de Moivre tenía poco tiempo para estudiar, por lo que arrancó páginas del libro y las llevó en el bolsillo para leer entre lecciones.
Según una historia posiblemente apócrifa, Newton, en los últimos años de su vida, solía referir a las personas que le planteaban preguntas matemáticas a De Moivre, diciendo: "Él sabe todas estas cosas mejor que yo". [2]
En 1692, de Moivre se hizo amigo de Edmond Halley y poco después del propio Isaac Newton . En 1695, Halley comunicó el primer artículo de matemáticas de De Moivre, que surgió de su estudio de las fluxiones en los Principia Mathematica , a la Royal Society . Este artículo fue publicado en Philosophical Transactions ese mismo año. Poco después de publicar este artículo, de Moivre también generalizó el notable teorema binomial de Newton en el teorema multinomial . La Royal Society se enteró de este método en 1697 e hizo miembro a De Moivre dos meses después.
Después de que de Moivre fue aceptado, Halley lo animó a centrar su atención en la astronomía. En 1705, De Moivre descubrió, intuitivamente, que "la fuerza centrípeta de cualquier planeta está directamente relacionada con su distancia del centro de las fuerzas y recíprocamente relacionada con el producto del diámetro de la evoluta y el cubo de la perpendicular en la tangente . " En otras palabras, si un planeta, M, sigue una órbita elíptica alrededor de un foco F y tiene un punto P donde PM es tangente a la curva y FPM es un ángulo recto de modo que FP es la perpendicular a la tangente, entonces la fuerza centrípeta en el punto P es proporcional a FM / (R * (FP) 3 ) donde R es el radio de la curvatura en M. El matemático Johann Bernoulli probó esta fórmula en 1710.
A pesar de estos éxitos, de Moivre no pudo obtener un nombramiento para una cátedra de matemáticas en ninguna universidad, lo que lo habría liberado de su dependencia de una tutoría que consumía mucho tiempo y que lo agobiaba más que a la mayoría de los demás matemáticos de la época. Al menos una parte de la razón fue un sesgo en contra de sus orígenes franceses. [3] [4] [5]
En noviembre de 1697 fue elegido miembro de la Royal Society [6] y en 1712 fue nombrado miembro de una comisión creada por la sociedad, junto con MM. Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston y Taylor para revisar las afirmaciones de Newton y Leibniz sobre quién descubrió el cálculo. Los detalles completos de la controversia se pueden encontrar en el artículo de controversia de cálculo de Leibniz y Newton .
Durante toda su vida, De Moivre siguió siendo pobre. Se informa que era un cliente habitual del antiguo Slaughter's Coffee House , St. Martin's Lane en Cranbourn Street, donde ganaba un poco de dinero jugando al ajedrez.
Años despues
De Moivre continuó estudiando los campos de la probabilidad y las matemáticas hasta su muerte en 1754 y después de su muerte se publicaron varios artículos adicionales. A medida que crecía, se volvió cada vez más letárgico y necesitaba más horas de sueño. Una afirmación común, aunque discutible, [7] es que señaló que estaba durmiendo 15 minutos adicionales cada noche y calculó correctamente la fecha de su muerte como el día en que el tiempo de sueño llegó a las 24 horas, el 27 de noviembre de 1754. [8] El ese día murió, de hecho, en Londres y su cuerpo fue enterrado en St Martin-in-the-Fields , aunque su cuerpo fue trasladado más tarde.
Probabilidad
De Moivre fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica y la teoría de la probabilidad al ampliar el trabajo de sus predecesores, particularmente Christiaan Huygens y varios miembros de la familia Bernoulli. También produjo el segundo libro de texto sobre teoría de la probabilidad, La doctrina de las oportunidades: un método para calcular las probabilidades de los eventos en juego . (El primer libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae ( On Casting the Die ), fue escrito por Girolamo Cardano en la década de 1560, pero no se publicó hasta 1663). Este libro se publicó en cuatro ediciones, 1711 en latín, y en inglés en 1718, 1738 y 1756. En las últimas ediciones de su libro, de Moivre incluyó su resultado inédito de 1733, que es el primer enunciado de una aproximación a la distribución binomial en términos de lo que ahora llamamos normal o Función gaussiana . [9] Este fue el primer método para encontrar la probabilidad de ocurrencia de un error de un tamaño dado cuando ese error se expresa en términos de la variabilidad de la distribución como una unidad, y la primera identificación del cálculo del error probable . Además, aplicó estas teorías a problemas de juego y tablas actuariales .
Una expresión que se encuentra comúnmente en probabilidad es n! pero antes de los días en que las calculadoras calculaban n! para una n grande consumía mucho tiempo. En 1733 de Moivre propuso la fórmula para estimar un factorial como n ! = cn (n + 1/2 ) e −n . Obtuvo una expresión aproximada para la constante c, pero fue James Stirling quien descubrió que c era √ 2 π . [10]
De Moivre también publicó un artículo titulado "Anualidades sobre la vida" en el que reveló la distribución normal de la tasa de mortalidad a lo largo de la edad de una persona. A partir de esto, produjo una fórmula simple para aproximar los ingresos producidos por los pagos anuales en función de la edad de una persona. Esto es similar a los tipos de fórmulas que utilizan las compañías de seguros en la actualidad.
Prioridad respecto a la distribución de Poisson
Algunos resultados sobre la distribución de Poisson fueron introducidos por primera vez por de Moivre en De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus en Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. [11] Como resultado, algunos autores han argumentado que la distribución de Poisson debería llevar el nombre de de Moivre. [12] [13]
La fórmula de De Moivre
En 1707, de Moivre derivó una ecuación de la que se puede deducir:
que pudo probar para todos los enteros positivos n . [14] [15] En 1722, presentó ecuaciones de las que se puede deducir la forma más conocida de la fórmula de De Moivre :
- [16] [17]
En 1749, Euler probó esta fórmula para cualquier n real usando la fórmula de Euler , lo que hace que la demostración sea bastante sencilla. [18] Esta fórmula es importante porque relaciona números complejos y trigonometría . Además, esta fórmula permite la derivación de expresiones útiles para cos ( nx ) y sin ( nx ) en términos de cos ( x ) y sin ( x ).
Aproximación de Stirling
De Moivre había estado estudiando probabilidad y sus investigaciones le exigían calcular coeficientes binomiales, lo que a su vez le exigía calcular factoriales. [19] [20] En 1730 de Moivre publicó su libro Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Miscelánea analítica de series e integrales], que incluía tablas de log ( n !). [21] Para valores grandes de n , de Moivre aproximó los coeficientes de los términos en una expansión binomial. Específicamente, dado un entero positivo n , donde n es par y grande, entonces el coeficiente del término medio de (1 + 1) n se aproxima mediante la ecuación: [22] [23]
El 19 de junio de 1729, James Stirling envió a De Moivre una carta que ilustraba cómo calculaba el coeficiente del término medio de una expansión binomial (a + b) n para valores grandes de n. [24] [25] En 1730, Stirling publicó su libro Methodus Differentialis [El método diferencial], en el que incluyó su serie para log ( n !): [26]
- ,
para que para grandes , .
El 12 de noviembre de 1733, de Moivre publicó y distribuyó en forma privada un panfleto - Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) n in Seriem expansi [Aproximación de la suma de los términos del binomio (a + b) n expandido en una serie ] - en la que reconoció la carta de Stirling y propuso una expresión alternativa para el término central de una expansión binomial. [27]
Notas
- ↑ a b O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abraham de Moivre" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Bellhouse, David R. (2011). Abraham De Moivre: Preparando el escenario para la probabilidad clásica y sus aplicaciones . Londres: Taylor y Francis. pag. 99. ISBN 978-1-56881-349-3.
- ^ Coughlin, Raymond F .; Zitarelli, David E. (1984). El ascenso de las matemáticas . McGraw-Hill. pag. 437. ISBN 0-07-013215-1.
Desafortunadamente, debido a que no era británico, De Moivre nunca pudo obtener un puesto de profesor universitario.
- ^ Jungnickel, Christa ; McCormmach, Russell (1996). Cavendish . Memorias de la American Philosophical Society. 220 . Sociedad Filosófica Estadounidense. pag. 52. ISBN 9780871692207.
Bien conectado en los círculos matemáticos y muy apreciado por su trabajo, todavía no podía conseguir un buen trabajo. Incluso su conversión a la Iglesia de Inglaterra en 1705 no pudo alterar el hecho de que era un extranjero.
- ^ Tanton, James Stuart (2005). Enciclopedia de Matemáticas . Publicación de Infobase. pag. 122. ISBN 9780816051243.
Tenía la esperanza de recibir un puesto en la facultad de matemáticas pero, como extranjero, nunca se le ofreció tal nombramiento.
- ^ "Catálogo de Biblioteca y Archivo" . La Royal Society . Consultado el 3 de octubre de 2010 .[ enlace muerto permanente ]
- ^ "Detalles biográficos: ¿Abraham de Moivre realmente predijo su propia muerte?" .
- ^ Cajori, Florian (1991). Historia de las Matemáticas (5 ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 229. ISBN 9780821821022.
- ^ Ver:
- Abraham De Moivre (12 de noviembre de 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b) n in seriem expansi" (folleto autoeditado), 7 páginas.
- Traducción al inglés: A. De Moivre, The Doctrine of Chances …, 2ª ed. (Londres, Inglaterra: H. Woodfall, 1738), págs. 235–243 .
- ^ Pearson, Karl (1924). "Nota histórica sobre el origen de la curva normal de errores". Biometrika . 16 (3–4): 402–404. doi : 10.1093 / biomet / 16.3-4.402 .
- ^ Johnson, NL, Kotz, S., Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas (segunda edición). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 , p157
- ^ Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson en la distribución de Poisson". Estadísticas y letras de probabilidad . 1 : 33–35. doi : 10.1016 / 0167-7152 (82) 90010-4 .
- ^ Hald, Anders; de Moivre, Abraham; McClintock, Bruce (1984). "A. de Moivre: 'De Mensura Sortis' o 'Sobre la medida del azar ' ". Revista Estadística Internacional / Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045 .
- ^ Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae y superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [De ciertas ecuaciones de la tercera, quinta, séptima, novena, y potencia superior, hasta el infinito, procediendo, en términos finitos, en forma de reglas para cúbicos que Cardano llama resolución por análisis.]. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 25 (309): 2368–2371. doi : 10.1098 / rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
- Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009)
- En 1676, Isaac Newton encontró la relación entre dos acordes que estaban en la razón de n a 1; la relación fue expresada por la serie anterior. La serie aparece en una carta - Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris en Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … - del 13 de junio de 1676 de Issac Newton a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; Se envió una copia de la carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . Ver pág. 106 de: Biot, J.-B .; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou… (en latín). París, Francia: Mallet-Bachelier. págs. 102-112.
- En 1698, de Moivre derivó la misma serie. Ver: de Moivre, A. (1698). "Un método de extracción de raíces de una ecuación infinita" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 20 (240): 190-193. doi : 10.1098 / rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; ver p. 192.
- En 1730, de Moivre consideró explícitamente el caso donde las funciones son cos θ y cos nθ. Ver: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (en latín). Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. pag. 1.Desde p. 1: "Lema 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit. " (Si l y x son cosenos de dos arcos A y B, ambos descritos por el mismo radio 1 y de los cuales el primero es un múltiplo del último en esa relación, ya que el número n tiene 1, entonces sea [cierto que].) Entonces, si arco A = n × arco B, entonces l = cos A = cos nB yx = cos B. Por lo tanto
- Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Conferencias sobre Historia de las Matemáticas ] (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 624.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [Sobre la historia del origen del llamado teorema de Moivre]. Bibliotheca Mathematica . 3ª serie (en alemán). 2 : 97-102. ; ver p. 98.
- ^ Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Volumen 3 , Publicaciones Courier Dover, p. 444, ISBN 9780486646909
- ^ Moivre, A. de (1722). "De sectione anguli" [Concerniente a la sección de un ángulo]. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 32 (374): 228–230. doi : 10.1098 / rstl.1722.0039 . S2CID 186210081 . Archivado desde el original el 6 de junio de 2020 . Consultado el 6 de junio de 2020 .
- Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009)
"Sit x sinus versus arcus cujuslibert.
[Sit] t sinus versus arcus alterius.
[Sit] 1 radio circuli.
Sitque arcus prior ad posteriorum ut 1 ad n , tunc, assumptis binis aequationibus quas cognatas appelare licet,
1 - 2 z n + z 2 n = - 2 z n t
1 - 2 z + zz = - 2 zx .
Expunctoque z orietur aequatio qua relatio inter x & t determinatur. "
(Vamos x ser el versine de cualquier arco [es decir, x = 1 - cos θ].
[Let] t ser el versine de otro arco.
[Let] 1 sea el radio del círculo.
Y que el primer arco a este último [es decir, "otro arco"] sea como 1 an [de modo que t = 1 - cos n θ], entonces, con las dos ecuaciones asumidas que pueden llamarse relacionadas,
1 - 2 z n + z 2 n = - 2 z n t
1 - 2 z + zz = - 2 zx .
Y al eliminar z , surgirá la ecuación mediante la cual se determina la relación entre x y t .)
Es decir, dadas las ecuaciones
1 - 2 z n + z 2 n = - 2 z n (1 - cos n θ)
1 - 2 z + zz = - 2 z (1 - cos θ),
use la fórmula cuadrática para resolver para z n en la primera ecuación y para z en la segunda ecuación. El resultado será: z n = cos n θ ± i sin n θ y z = cos θ ± i sin θ, de donde se sigue inmediatamente que (cos θ ± i sin θ) n = cos n θ ± i sin n θ.
Ver también:- Smith, David Eugen (1959). Un libro de consulta en matemáticas . vol. 2. Ciudad de Nueva York, Nueva York, Estados Unidos: Dover Publications Inc. págs. 444–446.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda )ver p. 445, nota al pie 1.
- ^ En 1738, de Moivre utilizó la trigonometría para determinar las raíces n de un número real o complejo. Ver: Moivre, A. de (1738). "De reductione radicalium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio a + + B {\ Displaystyle a + {\ sqrt {+ b}}}
, vel a + - B {\ Displaystyle a + {\ sqrt {-b}}}
. Epistola " [Sobre la reducción de radicales a términos más simples, o sobre la extracción de cualquier raíz dada de un binomio, o . Una carta.]. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 40 (451): 463–478. doi : 10.1098 / rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 .Desde p. 475: "Problema III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impossibli. … Illos autem negativos quorum arcus sunt quadrante majores. " (Problema III. Supongamos que una raíz cuyo índice [es decir, grado] es n se extraiga del binomio complejo. Solución. Deja que su raíz sea, entonces defino ; Yo tambien defino [Nota: debe leer: ], dibuja o imagina un círculo, cuyo radio es , y suponga en este [círculo] algún arco A cuyo coseno es ; sea C toda la circunferencia. Suponga, [medido] en el mismo radio, los cosenos de los arcos, etc.
hasta que la multitud [es decir, el número] de ellos [es decir, los arcos] sea igual al número n; cuando termine, deténgase allí; entonces habrá tantos cosenos como valores de la cantidad, que está relacionado con la cantidad ; esto [es decir,] siempre será .
No debe descuidarse, aunque se mencionó anteriormente, [que] aquellos cosenos cuyos arcos son menores que un ángulo recto deben considerarse positivos, pero aquellos cuyos arcos son mayores que un ángulo recto [deben considerarse] negativos).
Ver también:- Braunmühl, A. von (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Conferencias sobre la historia de la trigonometría ] (en alemán). vol. 2. Leipzig, Alemania: BG Teubner. págs. 76–77.
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tiene texto extra ( ayuda )
- Braunmühl, A. von (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Conferencias sobre la historia de la trigonometría ] (en alemán). vol. 2. Leipzig, Alemania: BG Teubner. págs. 76–77.
- ^ Euler (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des ecations" [Investigaciones sobre las raíces complejas de las ecuaciones]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (en francés). 5 : 222–288.Ver págs. 260-261: " Teorema XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1. "(Teorema XIII. §. 70. Para cualquier potencia, ya sea una cantidad real o un complejo [uno] de la forma M + N √-1 , de donde se extrae la raíz, las raíces siempre serán reales o complejas de la misma forma M + N √-1.)
- ↑ De Moivre había estado tratando de determinar el coeficiente del término medio de (1 + 1) n para n grande desde 1721 o antes. En su panfleto del 12 de noviembre de 1733 - Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) n in Seriem expansi [Aproximación de la suma de los términos del binomio (a + b) n expandido en una serie] - de Moivre dijo que había comenzado a trabajar en el problema hace 12 años o más: "Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram; ..." (Han pasado ya una docena de años o más desde que encontré esto [es decir, lo que sigue]; ...).
- (Archibald, 1926), pág. 677.
- (de Moivre, 1738), pág. 235.
- ↑ Los roles de de Moivre y Stirling para encontrar la aproximación de Stirling se presentan en:
- Gélinas, Jacques (24 de enero de 2017) "Pruebas originales de la serie de Stirling para log (N!)" Arxiv.org
- Lanier, Denis; Trotoux, Didier (1998). "La formule de Stirling" [fórmula de Stirling] Comisión inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (ed.). Analyse & démarche analytique: les neveux de Descartes: actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Reims, 10 y 11 de mayo de 1996 [Análisis y razonamiento analítico: los "sobrinos" de Decartes: actas de la XI coloquio inter-IREM sobre epistemología e historia de las matemáticas, Reims, 10-11 de mayo de 1996] (en francés). Reims, Francia: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] de Reims. págs. 231-286.
- ^ Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Miscelánea analítica de series y cuadraturas [es decir, integrales] ]. Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. págs. 103-104.
- ^ Desde p. 102 de (de Moivre, 1730) : "Problema III. Invenire Coefficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coefficientium.… Ad 1 proxime."
(Problema 3. Encuentre el coeficiente del término medio [de una expansión binomial] para una potencia muy grande y uniforme [n], o encuentre la razón que tiene el coeficiente del término medio con la suma de todos los coeficientes.
Solución. Sea n ser el grado de la potencia a la que + se eleva la una binomial b, a continuación, el establecimiento de [tanto] a y b = 1, la relación del término medio a su potencia (a + b) n o 2 n [Nota: la suma de todos los coeficientes de la expansión binomial de (1 + 1) n es 2 n .] será casi tana 1.
Pero cuando alguna serie para una consulta se pudo determinar con mayor precisión [pero] se había descuidado debido a la falta de tiempo, luego calculo por reintegración [y] recupero para su uso las cantidades particulares [que] previamente se habían descuidado; así que sucedió que finalmente pude concluir que la proporción [que se] busca es aproximadamente o a 1.)
La aproximación se deriva de las páginas 124-128 de (de Moivre, 1730). - ^ De Moivre determinó el valor de la constanteaproximando el valor de una serie usando solo sus primeros cuatro términos. De Moivre pensó que la serie convergía, pero el matemático inglés Thomas Bayes (ca. 1701-1761) descubrió que la serie en realidad divergía. De las págs. 127-128 de (de Moivre, 1730): "Cum vero perciperem tiene Serie valde implicatas evadere, ... conclusi factorem 2.168 seu,… " (Pero cuando concibí [cómo] evitar estas series tan complicadas - aunque todas eran perfectamente sumables - creo que [no había] nada más que hacer, que transformarlas al caso infinito; así establecido m hasta el infinito, entonces la suma de la primera serie racional se reducirá a 1/12, la suma de la segunda [se reducirá] a 1/360; así sucede que se logran las sumas de todas las series. una serie, etc., se podrá descartar tantos términos como desee; pero decidí [retener] cuatro [términos] de esta [serie], porque eran suficientes [como] una aproximación suficientemente precisa; ahora, cuando esta serie es convergente, entonces sus términos disminuyen alternando signos positivos y negativos, [y] se puede inferir que el primer término 1/12 es mayor [que] la suma de la serie, o el primer término es mayor [que ] la diferencia que existe entre todos los términos positivos y todos los términos negativos; pero ese término debe considerarse como un logaritmo hiperbólico [es decir, natural]; además, el número correspondiente a este logaritmo es casi 1.0869 [es decir, ln (1.0869) ≈ 1/12], que si se multiplica por 2, el producto será 2.1738, y así [en el caso de un binomio elevado] a un poder infinito, designado por n, la cantidadserá mayor que la razón que tiene el término medio del binomio con la suma de todos los términos, y procediendo a los términos restantes, se descubrirá que el factor 2,1676 es simplemente menor [que la razón entre el término medio y la suma de todos los términos], y de manera similar que 2,1695 es mayor, a su vez que 2,1682 se hunde un poco por debajo del verdadero [valor de la relación]; considerando cuál, llegué a la conclusión de que el factor [es] 2,168 o,…) Nota: El factor que buscaba De Moivre era: = 2.16887… (Lanier y Trotoux, 1998), p. 237.
- Bayes, Thomas (31 de diciembre de 1763). "Una carta del difunto Reverendo Sr. Bayes, FRS a John Canton, MA y FRS" Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 53 : 269-271. doi : 10.1098 / rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .
- ↑ (de Moivre, 1730), págs. 170-172.
- ↑ En la carta de Stirling del 19 de junio de 1729 a De Moivre, Stirling declaró que le había escrito a Alexander Cuming "quadrienium circiter abhinc" (hace unos cuatro años [es decir, 1725]) acerca de (entre otras cosas) la aproximación, mediante el uso de Issac Newton método de diferenciales, el coeficiente del término medio de una expansión binomial. Stirling reconoció que de Moivre había resuelto el problema años antes: "…; respondit Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias". (…; Este ilustre hombre [Alexander Cuming] respondió que dudaba de que el problema resuelto por usted varios años antes, relativo al comportamiento del término medio de cualquier potencia del binomio, pudiera resolverse mediante diferenciales). Stirling escribió que él Luego había comenzado a investigar el problema, pero que inicialmente su progreso fue lento.
- (de Moivre, 1730), pág. 170.
- Zabell, SL (2005). La simetría y sus descontentos: ensayos sobre la historia de la probabilidad inductiva . Nueva York, Nueva York, Estados Unidos: Cambridge University Press. pag. 113. ISBN 9780521444705.
- ^ Ver:
- Stirling, James (1730). Methodus Differentialis… (en latín). Londres, Inglaterra: G. Strahan. pag. 137.Desde p. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5, & c. Pone z – n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei [Nota: l, z = log (z)] additi Logarithmo circumferentiae Circuli cujus Radio est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi. " (Además, si desea el suma de los logaritmos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, etc., establezca z – n como el último número, siendo n ½; y tres o cuatro términos de esta serie agregado a [la mitad de] el logaritmo de la circunferencia de un círculo cuyo radio es la unidad [es decir, ½log (2π)] - es decir, [agregado] a esto: 0.39908.99341.79 - dará la suma [que se] busca, y cuantos más logaritmos [que] se agreguen, menos trabajo [es].) Nota: = 0.434294481903252 (Ver pág. 135.) = 1 / ln (10).
- Traducción en inglés: Stirling, James; Holliday, Francis, trad. (1749). El método diferencial . Londres, Inglaterra: E. Cave. pag. 121.[Nota: La impresora numeró incorrectamente las páginas de este libro, por lo que la página 125 se numera como "121", la página 126 como "122", y así sucesivamente hasta la p. 129.]
- ^ Ver:
- Archibald, RC (octubre de 1926). "Un folleto raro de Moivre y algunos de sus descubrimientos". Isis (en inglés y latín). 8 (4): 671–683. doi : 10.1086 / 358439 . S2CID 143827655 .
- Una traducción al inglés del folleto aparece en: Moivre, Abraham de (1738). La Doctrina de las Oportunidades… (2ª ed.). Londres, Inglaterra: Autoedición. págs. 235–243.
Referencias
- Véase Miscellanea Analytica de De Moivre (Londres: 1730) págs. 26–42.
- HJR Murray , 1913. Historia del ajedrez . Prensa de la Universidad de Oxford: p. 846.
- Schneider, I., 2005, "La doctrina de las posibilidades" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: págs. 105–20
Otras lecturas
- "de Moivre, Abraham" . Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2007 . Consultado el 15 de junio de 2002 .
- La doctrina del azar en MathPages.
- Biografía (PDF) , Biografía de Abraham De Moivre de Matthew Maty , traducida, anotada y aumentada .
- Extracto de Delicias trigonométricas (enlace muerto)
- de Moivre, Sobre la ley de la probabilidad normal