En matemáticas, la fórmula de Legendre da una expresión para el exponente de la mayor potencia de un primo p que divide al factorial n !. Lleva el nombre de Adrien-Marie Legendre . También se la conoce a veces como la fórmula de de Polignac , en honor a Alphonse de Polignac .
Declaración
Para cualquier número primo py cualquier entero positivo n , seaser el exponente de la mayor potencia de p que divide n (es decir, la valoración p -ádica de n ). Luego
dónde es la función de piso . Mientras que la fórmula en el lado derecho es una suma infinita, para cualquier valores particulares de n y p tiene sólo un número finito de términos no nulos: por cada i suficientemente grande que, uno tiene .
Ejemplo
Para n = 6, uno tiene. Los exponentes y se puede calcular mediante la fórmula de Legendre de la siguiente manera:
Prueba
Desde es el producto de los enteros 1 a n , obtenemos al menos un factor de p enpara cada múltiplo de p en, de los cuales hay . Cada múltiplo deaporta un factor adicional de p , cada múltiplo decontribuye aún con otro factor de p , etc. Sumando el número de estos factores da la suma infinita para.
Forma alternativa
También se puede reformular la fórmula de Legendre en términos de la expansión base p de n . Dejardenotar la suma de los dígitos en la base- p expansión de n ; luego
Por ejemplo, escribiendo n = 6 en binario como 6 10 = 110 2 , tenemos que y entonces
De manera similar, escribiendo 6 en ternario como 6 10 = 20 3 , tenemos que y entonces
Prueba
Escribir en base p . Luego, y por lo tanto
Aplicaciones
La fórmula de Legendre se puede utilizar para demostrar el teorema de Kummer . Como caso especial, se puede usar para demostrar que si n es un número entero positivo, entonces 4 se dividesi y solo si n no es una potencia de 2.
De la fórmula de Legendre se deduce que la función exponencial p -ádica tiene un radio de convergencia.
Referencias
- Legendre, AM (1830), Théorie des Nombres , París: Firmin Didot Frères
- Moll, Victor H. (2012), Números y funciones , American Mathematical Society , ISBN 978-0821887950, MR 2963308, página 77
- Leonard Eugene Dickson , Historia de la teoría de los números , Volumen 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, página 263.