En matemáticas , la familia de funciones de Debye está definida por
Las funciones reciben su nombre en honor a Peter Debye , quien encontró esta función (con n = 3) en 1912 cuando calculó analíticamente la capacidad calorífica de lo que ahora se llama modelo Debye .
Propiedades matematicas
Relación con otras funciones
Las funciones de Debye están estrechamente relacionadas con el polilogaritmo .
Expansión de la serie
Tienen la expansión de serie [1]
dónde es el n-ésimo número de Bernoulli .
Valores limitantes
Si es la función gamma yes la función zeta de Riemann , entonces, para,
Derivado
La derivada obedece a la relación
dónde es la función de Bernoulli.
Aplicaciones en física del estado sólido
El modelo Debye
El modelo de Debye tiene una densidad de estados vibracionales
- por
con la frecuencia de Debye ω D .
Energía interna y capacidad calorífica
Insertar g en la energía interna
con la distribución de Bose-Einstein
- .
Se obtiene
- .
La capacidad calorífica es la derivada de la misma.
Desplazamiento cuadrático medio
La intensidad de la difracción de rayos X o la difracción de neutrones en el número de onda q viene dada por el factor Debye-Waller o el factor Lamb-Mössbauer . Para los sistemas isotrópicos toma la forma
- ).
En esta expresión, el desplazamiento cuadrático medio se refiere a una sola componente cartesiana u x del vector u que describe el desplazamiento de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Suponiendo armonicidad y desarrollándose en modos normales, [3] se obtiene
Insertando la densidad de estados del modelo de Debye, se obtiene
- .
De la expansión de la serie de potencias anterior de se deduce que el desplazamiento cuadrático medio a altas temperaturas es lineal en temperatura
- .
La ausencia de indica que este es un resultado clásico . Porque va a cero para se sigue que para
Referencias
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 998. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. "3.411.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. págs. 355 y siguientes. ISBN 0-12-384933-0. LCCN 2014010276 . ISBN 978-0-12-384933-5 .
- ^ Ashcroft y Mermin 1976, App. L,
Otras lecturas
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 998. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Entrada "función Debye" en MathWorld , define las funciones Debye sin prefactor n / x n
Implementaciones
- Código Fortran 77 de Allan MacLeod de Transactions on Mathematical Software
- Versión Fortran 90
- Versión C de la biblioteca científica GNU