En matemáticas , las sumas de Dedekind son ciertas sumas de productos de una función de diente de sierra y están dadas por una función D de tres variables enteras. Dedekind los introdujo para expresar la ecuación funcional de la función eta de Dedekind . Posteriormente se han estudiado mucho en la teoría de números y se han producido en algunos problemas de topología . Las sumas de Dedekind tienen un gran número de ecuaciones funcionales; este artículo enumera solo una pequeña fracción de estos.
Las sumas de Dedekind fueron introducidas por Richard Dedekind en un comentario sobre el fragmento XXVIII de la recopilación de artículos de Bernhard Riemann .
Definición
Definir la función de diente de sierra como
Entonces dejamos
ser definido por
los términos de la derecha son las sumas de Dedekind . Para el caso a = 1, a menudo se escribe
- s ( b , c ) = D (1, b ; c ).
Fórmulas simples
Tenga en cuenta que D es simétrica en un y b , y por lo tanto
y que, por la rareza de (()),
- D (- a , b ; c ) = - D ( a , b ; c ),
- D ( a , b ; - c ) = D ( a , b ; c ).
Por la periodicidad de D en sus dos primeros argumentos, siendo el tercer argumento la longitud del período para ambos,
- D ( a , b ; c ) = D ( a + kc , b + lc ; c ), para todos los números enteros k , l .
Si d es un entero positivo, entonces
- D ( ad , bd ; cd ) = dD ( a , b ; c ),
- D ( ad , bd ; c ) = D ( a , b ; c ), si ( d , c ) = 1,
- D ( ad , b ; cd ) = D ( a , b ; c ), si ( d , b ) = 1.
Hay una prueba de la última igualdad haciendo uso de
Además, az = 1 (mod c ) implica D ( a , b ; c ) = D (1, bz ; c ).
Formas alternativas
Si b y c son primos entre sí, se puede escribir s ( b , c ) como
donde la suma se extiende sobre la c -ésima raíz de la unidad distinta de 1, es decir, sobre todos tal que y .
Si b , c > 0 son coprimos, entonces
Ley de reciprocidad
Si b y c son números enteros positivos primos entre sí, a continuación,
Reescribiendo esto como
se sigue que el número 6 c s ( b , c ) es un número entero.
Si k = (3, c ) entonces
y
Una relación que es prominente en la teoría de la función eta de Dedekind es la siguiente. Sea q = 3, 5, 7 o 13 y sea n = 24 / ( q - 1). Luego, dados los enteros a , b , c , d con ad - bc = 1 (por lo tanto, pertenece al grupo modular ), con c elegido de modo que c = kq para algún entero k > 0, defina
Entonces uno tiene n δ es un número entero par.
Generalización de Rademacher de la ley de reciprocidad
Hans Rademacher encontró la siguiente generalización de la ley de reciprocidad para las sumas de Dedekind: [1] Si un , b , y c son números enteros primos entre sí por pares positivos, entonces
Referencias
- ^ Rademacher, Hans (1954). "Generalización de la fórmula de reciprocidad para sumas de Dedekind". Diario de matemáticas de Duke . 21 : 391–397. doi : 10.1215 / s0012-7094-54-02140-7 . Zbl 0057.03801 .
Otras lecturas
- Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (1990), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97127-0 (Consulte el capítulo 3.)
- Matthias Beck y Sinai Robins, Sumas de Dedekind: un punto de vista geométrico discreto , (2005 o antes)
- Hans Rademacher y Emil Grosswald , Dedekind Sums , Carus Math. Monografías, 1972. ISBN 0-88385-016-8 .