En matemáticas , la función eta de Dedekind , llamada así por Richard Dedekind , es una forma modular de peso 1/2 y es una función definida en el semiplano superior de números complejos , donde la parte imaginaria es positiva. También ocurre en la teoría de cuerdas bosónicas .
Definición
Para cualquier número complejo con , dejar , entonces la función eta está definida por,
La notación ahora es estándar en la teoría de números , aunque muchos libros antiguos usan q para el nomo . Elevar la ecuación eta a la potencia 24 y multiplicar por (2π) 12 da
donde Δ es el discriminante modular . La presencia de 24 puede entenderse en conexión con otras ocurrencias, como en la red Leech de 24 dimensiones .
La función eta es holomórfica en el semiplano superior, pero no puede continuar analíticamente más allá de él.
La función eta satisface las ecuaciones funcionales [1]
En la segunda ecuación, la rama de la raíz cuadrada es tal que es +1 cuando .
De manera más general, suponga que a , b , c , d son números enteros con ad - bc = 1, de modo que
es una transformación perteneciente al grupo modular . Podemos suponer que c > 0, o c = 0 yd = 1. Entonces
dónde
Aquí es la suma de Dedekind
Debido a estas ecuaciones funcionales, la función eta es una forma modular de peso 1/2 y nivel 1 para un cierto carácter de orden 24 de la doble cubierta metapléjica del grupo modular, y puede usarse para definir otras formas modulares. En particular, el discriminante modular de Weierstrass se puede definir como
y es una forma modular de ponderación 12. Algunos autores omiten el factor de (2π) 12 , por lo que la expansión de la serie tiene coeficientes integrales.
El producto triple de Jacobi implica que eta es (hasta un factor) una función theta de Jacobi para valores especiales de los argumentos: [2]
dónde es "el" carácter de Dirichlet módulo 12 con, . Explícitamente,
- [ cita requerida ]
relacionado con por , tiene una serie de potencias por la identidad de Euler :
Debido a que la función eta es fácil de calcular numéricamente a partir de cualquiera de las series de potencias , a menudo es útil en el cálculo expresar otras funciones en términos de ella cuando sea posible, y los productos y cocientes de las funciones eta, llamados cocientes eta, pueden usarse para expresar una gran variedad de formas modulares.
La imagen de esta página muestra el módulo de la función de Euler: el factor adicional de entre esto y eta casi no hay diferencia visual alguna (solo introduce un pequeño pinchazo en el origen). Por tanto, esta imagen se puede tomar como una imagen de eta en función de q .
Identidades combinatorias
La teoría de los caracteres algebraicos de las álgebras de Lie afines da lugar a una gran clase de identidades previamente desconocidas para la función eta. Estas identidades se derivan de la fórmula del carácter de Weyl-Kac y, más específicamente, de las denominadas "identidades de denominador". Los propios personajes permiten la construcción de generalizaciones de la función theta de Jacobi que se transforman bajo el grupo modular ; esto es lo que conduce a las identidades. Un ejemplo de una de estas nuevas identidades [3] es
dónde es la q-analógica o "deformación" de mayor peso de un módulo.
Valores especiales
De la conexión anterior con la función de Euler junto con los valores especiales de esta última, se puede deducir fácilmente que
Cocientes de eta
Los cocientes de Eta se definen mediante cocientes de la forma
Dónde es un número entero no negativo y es cualquier número entero. Las combinaciones lineales de cocientes eta en argumentos cuadráticos imaginarios pueden ser algebraicas , mientras que las combinaciones de cocientes eta pueden incluso ser integrales . Por ejemplo, defina,
con 24 potencia de la función modular Weber . Luego,
y así sucesivamente, valores que aparecen en la serie Ramanujan – Sato .
Eta Quotients también puede ser una herramienta útil para describir bases de formas modulares , que son notoriamente difíciles de calcular y expresar directamente. En 1993, Basil Gordon y Kim Hughes demostraron que si un cociente eta de la forma satisface
luego es un pesoforma modular para el subgrupo de congruencia (hasta holomorficidad ) donde [4]
Este resultado se amplió en 2019 de tal manera que lo contrario se aplica a los casos en que es coprime a, y permanece abierto que el teorema original es agudo para todos los enteros . [5] Esto también se extiende para afirmar que cualquier cociente eta modular para cualquier nivelEl subgrupo de congruencia también debe ser una forma modular para el grupo.. Si bien estos teoremas caracterizan los cocientes eta modulares , la condición de holomorficidad debe comprobarse por separado utilizando un teorema que surgió del trabajo de Gérard Ligozat [6] e Yves Martin: [7]
Si es un cociente eta que satisface las condiciones anteriores para el entero y y son enteros coprimos, luego el orden de desaparición en la cúspide relativo a es
Estos teoremas proporcionan un medio eficaz de crear cocientes eta modulares holomórficos, sin embargo, esto puede no ser suficiente para construir una base para un espacio vectorial de formas modulares y formas de cúspide . Un teorema útil para limitar el número de cocientes eta modulares a considerar establece que un peso holomórfico cociente eta modular en debe satisfacer
dónde denota el entero más grande tal que . [8] Estos resultados conducen a varias caracterizaciones de espacios de formas modulares que se pueden abarcar mediante cocientes eta modulares. [8] Usando la estructura de anillo graduado en el anillo de formas modulares, podemos calcular bases de espacios vectoriales de formas modulares compuestas de-Combinaciones lineales de cocientes eta. Por ejemplo, si asumimoses un semiprime, entonces el siguiente proceso puede usarse para calcular una base de cociente eta de METRO k ( Γ 0 ( norte ) ) {\ Displaystyle M_ {k} (\ Gamma _ {0} (N))} . [5]
Paso 1: arreglar un semiprime que es coprimo de 6. Sabemos que cualquier cociente modular eta se puede encontrar usando los teoremas anteriores, por lo que es razonable calcularlos algorítmicamente.
Paso 2: Calcule la dimensión de . Esto nos dice cuántos cocientes eta modulares linealmente independientes necesitaremos calcular para formar una base.
Paso 3: Reducir el número de cocientes eta a considerar. Para semiprimes podemos reducir el número de particiones usando el límite en
y al notar que la suma de las órdenes de desaparición en las cúspides de debe ser igual
- . [5]
Paso 4: busque todas las particiones de en 4 tuplas (hay 4 cúspides de ), y entre estos consideremos solo las particiones que satisfacen las condiciones de Gordon y Hughes (podemos convertir órdenes de desaparición en exponentes). Cada una de estas particiones corresponde a un cociente eta único.
Paso 5: Determine el número mínimo de términos en la expansión q de cada cociente eta requeridos para identificar elementos de manera única (esto usa un resultado conocido como Sturm's Bound). Luego usa álgebra lineal para determinar un conjunto independiente máximo entre estos cocientes eta.
Paso 6: Suponiendo que no hemos encontrado muchos cocientes eta linealmente independientes. Encuentra un espacio vectorial apropiado tal que y está dividido por cocientes eta ( débilmente holomórficos ), [8] y contiene un cociente eta .
Paso 7: toma un peso forma modular no en el lapso de nuestros cocientes eta calculados y calcular como una combinación lineal de cocientes eta en y luego dividir por . El resultado será una expresión decomo una combinación lineal de cocientes eta como se desee. Repita esto hasta que se forme una base.
Ver también
- Fórmula de Chowla-Selberg
- Serie Ramanujan – Sato
- serie q
- Funciones elípticas de Weierstrass
- Función de partición (teoría de números)
- Fórmula límite de Kronecker
- Álgebra de mentiras afines
Referencias
- ^ Siegel, CL (1954). "Una simple prueba de". Mathematika . 1 : 4. doi : 10.1112 / S0025579300000462 .
- ^ Bump, Daniel (1998), formas y representaciones automórficas , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55098-X
- ^ Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
- ^ Basil Gordon y Kim Hughes. Propiedades multiplicativas de los productos η. II. En Un tributo a Emil Grosswald: teoría de números y análisis relacionado, volumen 143 de Contemp. Math., Páginas 415–430. Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1993.
- ^ a b c Michael Allen; Nicholas Anderson; Asimina Hamakiotes; Ben Oltsik; Holly Swisher (2020). "Eta-cocientes de nivel primo o semiprimo y curvas elípticas". Involucrar . 13 (5): 879–900. arXiv : 1901.10511 . doi : 10.2140 / involucre.2020.13.879 .
- ^ G. Ligozat. Courbes modulaires de genre 1. UER Mathématique, Université Paris XI, Orsay, 1974. Publicación Mathématique d'Orsay, No. 75 7411.
- ^ Yves Martin (1996). "Cocientes η multiplicativos". Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 348 (12): 4825-4856.
- ^ a b c Jeremy Rouse; John J. Webb (2015). "Sobre espacios de formas modulares atravesados por cocientes eta" . Adv. Matemáticas. 272 : 200-224. doi : 10.1016 / j.aim.2014.12.002 .
Otras lecturas
- Tom M. Apostol, Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2 ed), Textos de posgrado en matemáticas 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 Consulte el capítulo 3.
- Neal Koblitz , Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares (2 ed), Textos de posgrado en matemáticas 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2