regla de poder

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En cálculo , la regla de la potencia se utiliza para derivar funciones de la forma , siempre que sea un número real. Dado que la diferenciación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también se pueden diferenciar usando esta regla. La regla de la potencia es la base de la serie de Taylor, ya que relaciona una serie de potencias con las derivadas de una función .${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\ estilo de visualización r}$

Sea una función satisfactoria para todos , con . Luego, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\ estilo de visualización x}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

para cualquier número real . Se puede derivar invirtiendo la regla de la potencia para la diferenciación.${\ estilo de visualización r \ neq -1}$

Para empezar, debemos elegir una definición funcional del valor de , donde es cualquier número real. Aunque es factible definir el valor como el límite de una secuencia de potencias racionales que se aproximan a la potencia irracional siempre que nos encontremos con tal potencia, o como el límite superior mínimo de un conjunto de potencias racionales menores que la potencia dada, este tipo de la definición no es susceptible de diferenciación. Por lo tanto, es preferible utilizar una definición funcional, que generalmente se toma para todos los valores de , donde es la función exponencial natural y es el número de Euler . ^{[1] [2]} Primero, podemos demostrar que la derivada de es .${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\ estilo de visualización r}$${\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)=e^{r\ln x}}$${\ estilo de visualización x> 0}$${\ estilo de visualización \ exp}$${\ estilo de visualización e}$${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$

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