Resolución de singularidades
En la geometría algebraica , el problema de resolución de singularidades pregunta si cada variedad algebraica V tiene una resolución, una variedad no singular W con una adecuada birracional mapa W → V . Para las variedades sobre campos de característica 0 esto se demostró en Hironaka (1964), [1] mientras que para variedades sobre campos de característica p es un problema abierto en dimensiones de al menos 4. [2]
Originalmente, el problema de la resolución de singularidades era encontrar un modelo no singular para el campo de función de una variedad X , es decir, una variedad completa no singular X ′ con el mismo campo de función. En la práctica, es más conveniente para pedir una condición diferente de la siguiente manera: una variedad X tiene una resolución de singularidades si podemos encontrar una variedad no singular X ' y un adecuado mapa de birracional X' a X . La condición de que el mapa adecuado es que se necesita para excluir soluciones triviales, como la toma X ' para ser la subvariedad de puntos no singulares de X .
De manera más general, a menudo es útil resolver las singularidades de una variedad X incrustadas en una variedad W más grande . Supongamos que tenemos una inclusión cerrada de X en una variedad W regular . Una fuerte desingularización de X viene dada por un morfismo biracional adecuado de una variedad regular W ′ a W sujeto a algunas de las siguientes condiciones (la elección exacta de las condiciones depende del autor):
Hironaka demostró que hay una fuerte desingularización que satisface las tres primeras condiciones anteriores siempre que X se define sobre un campo de característica 0, y varios autores mejoraron su construcción (ver más abajo) para que satisfaga todas las condiciones anteriores.
Cada curva algebraica tiene un modelo proyectivo no singular único, lo que significa que todos los métodos de resolución son esencialmente los mismos porque todos construyen este modelo. En dimensiones superiores esto ya no es cierto: las variedades pueden tener muchos modelos proyectivos no singulares diferentes.
La resolución de singularidades de curvas fue probada esencialmente por Newton ( 1676 ), quien demostró la existencia de series de Puiseux para una curva de la cual la resolución se sigue fácilmente.
