En matemáticas , las series de Puiseux son una generalización de series de potencias que permiten exponentes negativos y fraccionarios de la T indeterminada . Fueron introducidos por primera vez por Isaac Newton en 1676 [1] y redescubiertos por Victor Puiseux en 1850. [2] Por ejemplo, la serie
es una serie Puiseux en T .
El teorema de Puiseux , a veces también llamado teorema de Newton-Puiseux , afirma que, dada una ecuación polinomial , sus soluciones en y , vistas como funciones de x , pueden expandirse como series de Puiseux que son convergentes en alguna vecindad del origen (0 excluido, en el caso de una solución que tiende a infinito en el origen). En otras palabras, cada rama de una curva algebraica puede ser descrita localmente (en términos de x ) por una serie de Puiseux.
El conjunto de series de Puiseux sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 es en sí mismo un campo algebraicamente cerrado, llamado el campo de la serie de Puiseux . Es el cierre algebraico del campo de las series formales de Laurent . Esta declaración también se conoce como teorema de Puiseux , ya que es una expresión del teorema de Puiseux original en el lenguaje abstracto moderno. Las series de Puiseux están generalizadas por series de Hahn .
Definicion formal
Si K es un campo (como los números complejos ), entonces podemos definir el campo de la serie de Puiseux con coeficientes en K de manera informal como el conjunto de expresiones de la forma
dónde es un número entero positivo y es un entero arbitrario. En otras palabras, las series de Puiseux se diferencian de las series de Laurent en que permiten exponentes fraccionarios del indeterminado, siempre que estos exponentes fraccionarios tengan denominador acotado (aquí n ). Al igual que con las series de Laurent, las series de Puiseux permiten exponentes negativos de lo indeterminado siempre que estos exponentes negativos estén delimitados por debajo (aquí por). La suma y la multiplicación son las esperadas: por ejemplo,
y
- .
Uno podría definirlos primero "actualizando" el denominador de los exponentes a algún denominador común N y luego realizando la operación en el campo correspondiente de la serie formal de Laurent de.
En otras palabras, el campo de la serie de Puiseux con coeficientes en K es la unión de los campos(donde n varía sobre los enteros positivos), donde cada elemento de la unión es un campo de series formales de Laurent sobre(considerado como indeterminado), y donde cada uno de esos campos se considera como un subcampo de los que tienen n más grande reescribiendo los exponentes fraccionarios para usar un denominador más grande (así, por ejemplo, se identifica con ). [ aclaración necesaria ]
Esto produce una definición formal del campo de las series de Puiseux: es el límite directo del sistema directo, indexado sobre los números naturales n distintos de cero ordenados por divisibilidad , cuyos objetos son todos (el campo de las series formales de Laurent, que reescribimos como para mayor claridad), con un morfismo siendo dado, siempre que m divide n , por.
Valoración y orden
La serie Puiseux sobre un campo K forma un campo valorado con grupo de valores(los racionales ): la valoración de una serie
como arriba se define como el más pequeño racional tal que el coeficiente del término con exponente no es cero (con la convención habitual de que la valoración de 0 es + ∞). El coeficienteen cuestión se suele llamar coeficiente de valoración de f .
Esta valoración a su vez define una distancia ( invariante en la traducción) (que es ultramétrica ), por lo tanto, una topología en el campo de la serie Puiseux al permitir que la distancia de f a 0 sea. Esto justifica a posteriori la notación
ya que la serie en cuestión, de hecho, converge af en el campo de series de Puiseux (esto contrasta con las series de Hahn, que no pueden verse como series convergentes).
Si el campo base K está ordenado , entonces el campo de la serie Puiseux sobre K también se ordena naturalmente (“ lexicográficamente ”) de la siguiente manera: una serie Puiseux f distinta de cero con 0 se declara positiva siempre que su coeficiente de valoración sea así. Esencialmente, esto significa que cualquier potencia racional positivo de la indeterminada T se hace positivo, pero más pequeño que cualquier elemento positivo en el campo de base K .
Si el campo base K está dotado de una valoración w , entonces podemos construir una valoración diferente en el campo de la serie de Puiseux sobre K dejando que la valoración ser dónde es la valoración previamente definida ( es el primer coeficiente distinto de cero) y ω es infinitamente grande (en otras palabras, el grupo de valores de es ordenado lexicográficamente, donde Γ es el grupo de valores de w ). Básicamente, esto significa que la valoración v previamente definida se corrige en una cantidad infinitesimal para tener en cuenta la valoración w dada en el campo base.
Cerramiento algebraico de la serie Puiseux
Una propiedad esencial de la serie de Puiseux se expresa mediante el siguiente teorema, atribuido a Puiseux [2] (para) pero que estaba implícito en el uso de Newton del polígono de Newton ya en 1671 [3] y, por lo tanto, conocido como teorema de Puiseux o como teorema de Newton-Puiseux: [4]
Teorema : Si K es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, entonces el campo de la serie Puiseux sobre K es la clausura algebraica de la esfera de la serie formal de Laurent sobre K . [5]
De manera muy aproximada, la demostración procede esencialmente inspeccionando el polígono de Newton de la ecuación y extrayendo los coeficientes uno por uno usando una forma valorativa del método de Newton . Siempre que las ecuaciones algebraicas se puedan resolver algorítmicamente en el campo base K , los coeficientes de las soluciones de la serie Puiseux se pueden calcular en cualquier orden dado.
Por ejemplo, la ecuación tiene soluciones
y
(uno comprueba fácilmente en los primeros términos que la suma y el producto de estas dos series son 1 y respectivamente; esto es válido siempre que el campo base K tenga una característica diferente de 2).
Como las potencias de 2 en los denominadores de los coeficientes del ejemplo anterior pueden hacernos creer, el enunciado del teorema no es verdadero en característica positiva. El ejemplo de la ecuación de Artin-Schreiermuestra esto: el razonamiento con valoraciones muestra que X debería tener valoración, y si lo reescribimos como luego
y uno muestra de manera similar que debería tener valoración , y procediendo de esa manera se obtiene la serie
dado que esta serie no tiene sentido como una serie de Puiseux, porque los exponentes tienen denominadores ilimitados, la ecuación original no tiene solución. Sin embargo, tales ecuaciones de Eisenstein son esencialmente las únicas que no tienen una solución, porque, si K es algebraicamente cerrado de característica p > 0, entonces el campo de la serie de Puiseux sobre K es el cierre perfecto de la extensión máxima mansamente ramificada de. [4]
Al igual que en el caso de la clausura algebraica, existe un teorema análogo para el cierre de bienes : si K es un campo cerrado real, entonces el campo de la serie Puiseux sobre K es el verdadero cierre del campo de las series formales Laurent más de K . [6] (Esto implica el teorema anterior, ya que cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero es la extensión cuadrática única de algún campo cerrado real).
También hay un resultado análogo para el cierre p-ádico : si K es un campo p -ádicamente cerrado con respecto a una valoración w , entonces el campo de la serie de Puiseux sobre K también es p -ádicamente cerrado. [7]
Expansión de Puiseux de curvas y funciones algebraicas
Curvas algebraicas
Sea X una curva algebraica [8] dada por una ecuación afínsobre un campo K algebraicamente cerrado de característica cero, y considere un punto p en X que podemos asumir que es (0,0). También asumimos que X no es el eje de coordenadas x = 0. Entonces, una expansión de Puiseux de (la coordenada y de) X en p es una serie de Puiseux f que tiene una valoración positiva tal que.
Más precisamente, definamos las ramas de X en p como los puntos q de la normalización Y de X que se mapean ap . Para cada uno de tales q , hay coordenadas local t de Y en q (que es un punto de curva) de tal manera que las coordenadas x y y pueden expresarse como series de potencias formal de t , digamos(dado que K es algebraicamente cerrado, podemos suponer que el coeficiente de valoración es 1) y: luego hay una serie Puiseux única de la forma (una serie de potencias en ), tal que (la última expresión es significativa ya que es una serie de potencias bien definida en t ). Esta es una expansión de Puiseux de X en p que se dice que está asociada a la rama dada por q (o simplemente, la expansión de Puiseux de esa rama de X ), y cada expansión de Puiseux de X en p se da de esta manera para un rama única de X en la p . [9] [10]
Esta existencia de una parametrización formal de las ramas de una función o curva algebraica también se conoce como teorema de Puiseux : podría decirse que tiene el mismo contenido matemático que el hecho de que el campo de la serie de Puiseux es algebraicamente cerrado y es una descripción históricamente más precisa de declaración del autor original. [11]
Por ejemplo, la curva (cuya normalización es una línea con coordenada ty mapa) tiene dos ramas en el punto doble (0,0), correspondientes a los puntos t = +1 y t = −1 de la normalización, cuyas expansiones de Puiseux son y respectivamente (aquí, ambas son series de potencias porque la coordenada x es étale en los puntos correspondientes de la normalización). En el punto suave (−1,0) (que es t = 0 en la normalización), tiene una sola rama, dada por la expansión de Puiseux(la coordenada x se ramifica en este punto, por lo que no es una serie de potencias).
La curva (cuya normalización es nuevamente una línea con coordenada ty mapa), por otro lado, tiene una sola rama en el punto de la cúspide (0,0), cuya expansión de Puiseux es.
Convergencia analítica
Cuándo es el campo de números complejos, la expansión de Puiseux de una curva algebraica (como se define arriba) es convergente en el sentido de que para una elección dada de raíz n -ésima de x , convergen para lo suficientemente pequeño, por lo tanto, defina una parametrización analítica de cada rama de X en la vecindad de p (más precisamente, la parametrización es por la raíz n -ésima de x ).
Generalizaciones
Campo Levi-Civita
El campo de la serie Puiseux no está completo como espacio métrico . Su finalización, denominada campo Levi-Civita , se puede describir de la siguiente manera: es el campo de expresiones formales de la formadonde el soporte de los coeficientes (es decir, el conjunto de e tal que) es el rango de una secuencia creciente de números racionales que es finita o tiende a + ∞. En otras palabras, tales series admiten exponentes de denominadores ilimitados, siempre que haya un número finito de términos de exponente menor que A para cualquier límite A dado . Por ejemplo,no es una serie de Puiseux, pero es el límite de una secuencia de Cauchy de la serie de Puiseux; en particular, es el límite de como . Sin embargo, incluso esta terminación todavía no es "máximamente completa" en el sentido de que admite extensiones no triviales que son campos valorados que tienen el mismo grupo de valor y campo de residuo, [12] [13] de ahí la oportunidad de completarlo aún más.
Serie de Hahn
Las series de Hahn son una generalización adicional (más grande) de las series de Puiseux, introducidas por Hans Hahn en el curso de la demostración de su teorema de incrustación en 1907 y luego estudiadas por él en su enfoque del decimoséptimo problema de Hilbert . En una serie de Hahn, en lugar de requerir que los exponentes tengan un denominador acotado, deben formar un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (generalmente o ). Estos fueron posteriormente generalizados por Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann a un entorno no conmutativo (por lo tanto, a veces se conocen como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ). Usando series de Hahn, es posible dar una descripción del cierre algebraico del campo de series de potencia en característica positiva que es algo análoga al campo de las series de Puiseux. [14]
Notas
- ↑ Newton (1960)
- ↑ a b Puiseux (1850, 1851)
- ↑ Newton (1736)
- ^ a b cf. Kedlaya (2001), introducción
- ^ cf. Eisenbud (1995), corolario 13.15 (p. 295)
- ^ Basu & al (2006), capítulo 2 ("Campos cerrados reales"), teorema 2.91 (p. 75)
- ^ Cherlin (1976), capítulo 2 ("El principio de transferencia Axe-Kochen-Ershof"), §7 ("Campos de la serie Puiseux")
- ^ Suponemos que X es irreducible o, al menos, que es reducido y que no contiene eleje de coordenadas y .
- ^ Shafarevich (1994), II.5, págs. 133-135
- ^ Cutkosky (2004), capítulo 2, págs. 3-11
- ↑ Puiseux (1850), pág. 397
- ^ Poonen, Bjorn (1993). "Campos al máximo completados". Enseign. Matemáticas . 39 : 87-106.
- ^ Kaplansky, Irving (1942). "Campos máximos con valoraciones". Duke Math. J . 9 (2): 303–321. doi : 10.1215 / s0012-7094-42-00922-0 .
- ^ Kedlaya (2001)
Ver también
- Serie Laurent
- Serie Madhava
- Interpolación de diferencias divididas de Newton
- Padé aproximado
Referencias
- Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Algoritmos en geometría algebraica real . Algoritmos y cálculos en matemáticas 10 (2ª ed.). Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 3-540-33099-2 . ISBN 978-3-540-33098-1.
- Cherlin, Greg (1976). Modelar temas seleccionados de álgebra teórica . Notas de clase en matemáticas 521. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-07696-4.[ enlace muerto ]
- Cutkosky, Steven Dale (2004). Resolución de singularidades . Estudios de Posgrado en Matemáticas 63. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3555-6.
- Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas 150. Springer-Verlag . ISBN 3-540-94269-6.
- Kedlaya, Kiran Sridhara (2001). "El cierre algebraico del campo de la serie de potencias en característica positiva" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 129 (12): 3461–3470. doi : 10.1090 / S0002-9939-01-06001-4 .
- Newton, Isaac (1736) [1671], El método de fluxiones y series infinitas; con su aplicación a la geometría de líneas curvas , traducido por Colson, John , Londres: Henry Woodfall, p. 378 (Traducido del latín)
- Newton, Isaac (1960). "carta a Oldenburg fechada el 24 de octubre de 1676" . La correspondencia de Isaac Newton . II . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 126-127 . ISBN 0-521-08722-8.
- Puiseux, Victor Alexandre (1850). "Recherches sur les fonctions algébriques" (PDF) . J. Math. Pures Appl . 15 : 365–480.
- Puiseux, Victor Alexandre (1851). "Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques" (PDF) . J. Math. Pures Appl . 16 : 228-240.
- Shafarevich, Igor Rostislavovich (1994). Geometría algebraica básica (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54812-2.
- Walker, RJ (1978). Curvas algebraicas (PDF) (Reimpresión ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90361-5.
enlaces externos
- "Punto de ramificación" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Serie Puiseux en MathWorld
- Teorema de Puiseux en MathWorld
- Serie Puiseux en PlanetMath