En matemáticas , los polinomios de Dickson , denominados D n ( x , α ) , forman una secuencia polinómica introducida por LE Dickson ( 1897 ). Fueron redescubiertos por Brewer (1961) en su estudio de las sumas de Brewer y, en ocasiones, aunque raras veces, se los ha denominado polinomios de Brewer .
Sobre los números complejos, los polinomios de Dickson son esencialmente equivalentes a los polinomios de Chebyshev con un cambio de variable y, de hecho, los polinomios de Dickson a veces se denominan polinomios de Chebyshev.
Los polinomios de Dickson generalmente se estudian sobre campos finitos , donde a veces pueden no ser equivalentes a los polinomios de Chebyshev. Una de las principales razones de interés en ellos es que para α fijo , dan muchos ejemplos de polinomios de permutación ; polinomios que actúan como permutaciones de campos finitos.
Definición
Primer tipo
Para el número entero n > 0 y α en un anillo conmutativo R con identidad (a menudo elegido para ser el campo finito F q = GF ( q ) ) los polinomios de Dickson (del primer tipo) sobre R están dados por [1]
Los primeros polinomios de Dickson son
También pueden ser generados por la relación de recurrencia para n ≥ 2 ,
con las condiciones iniciales D 0 ( x , α ) = 2 y D 1 ( x , α ) = x .
Segundo tipo
Los polinomios de Dickson del segundo tipo, E n ( x , α ) , se definen por
No se han estudiado mucho y tienen propiedades similares a las de los polinomios de Dickson del primer tipo. Los primeros polinomios de Dickson del segundo tipo son
También pueden ser generados por la relación de recurrencia para n ≥ 2 ,
con las condiciones iniciales E 0 ( x , α ) = 1 y E 1 ( x , α ) = x .
Propiedades
Los D n son los polinomios monicos únicos que satisfacen la ecuación funcional
donde α ∈ F q y u ≠ 0 ∈ F q 2 . [2]
También satisfacen una regla de composición, [2]
El E n también satisface una ecuación funcional [2]
para y ≠ 0 , y 2 ≠ α , con α ∈ F q y y ∈ F q 2 .
El polinomio de Dickson y = D n es una solución de la ecuación diferencial ordinaria
y el polinomio de Dickson y = E n es una solución de la ecuación diferencial
Sus funciones generadoras ordinarias son
Enlaces a otros polinomios
Por la relación de recurrencia anterior, los polinomios de Dickson son secuencias de Lucas . Específicamente, para α = -1 , los polinomios de Dickson del primer tipo son polinomios de Fibonacci y los polinomios de Dickson del segundo tipo son polinomios de Lucas .
Según la regla de composición anterior, cuando α es idempotente , la composición de los polinomios de Dickson del primer tipo es conmutativa.
- Los polinomios de Dickson con parámetro α = 0 dan monomios .
- Los polinomios de Dickson con parámetro α = 1 están relacionados con los polinomios de Chebyshev T n ( x ) = cos ( n arccos x ) del primer tipo por [1]
- Dado que el polinomio de Dickson D n ( x , α ) se puede definir sobre anillos con idempotentes adicionales, D n ( x , α ) a menudo no está relacionado con un polinomio de Chebyshev.
Polinomios de permutación y polinomios de Dickson
Un polinomio de permutación (para un campo finito dado) es uno que actúa como una permutación de los elementos del campo finito.
El polinomio de Dickson D n ( x , α) (considerado como una función de x con α fijo) es un polinomio de permutación para el campo con q elementos si y solo si n es coprime a q 2 - 1 . [3]
Fried (1970) demostró que cualquier polinomio integral que sea un polinomio de permutación para un número infinito de campos primos es una composición de polinomios de Dickson y polinomios lineales (con coeficientes racionales). Esta afirmación se conoce como la conjetura de Schur, aunque en realidad Schur no hizo esta conjetura. Dado que el artículo de Fried contenía numerosos errores, Turnwald (1995 ) dio una explicación corregida , y posteriormente Müller (1997) dio una prueba más simple en la línea de un argumento debido a Schur.
Además, Müller (1997) demostró que cualquier polinomio de permutación sobre el campo finito F q cuyo grado es simultáneamente coprime a q y menor que q1/4 debe ser una composición de polinomios Dickson y polinomios lineales.
Generalización
Los polinomios de Dickson de ambos tipos sobre campos finitos pueden considerarse miembros iniciales de una secuencia de polinomios de Dickson generalizados denominados polinomios de Dickson del tipo ( k + 1) ésimo. [4] Específicamente, para α ≠ 0 ∈ F q con q = p e para algún primo p y cualquier número entero n ≥ 0 y 0 ≤ k < p , el n- ésimo polinomio de Dickson del tipo ( k + 1) -ésimo sobre F q , denotado por D n , k ( x , α ) , está definido por [5]
y
D n , 0 ( x , α ) = D n ( x , α ) y D n , 1 ( x , α ) = E n ( x , α ) , lo que demuestra que esta definición unifica y generaliza los polinomios originales de Dickson.
Las propiedades significativas de los polinomios de Dickson también se generalizan: [6]
- Relación de recurrencia : Para n ≥ 2 ,
- con las condiciones iniciales D 0, k ( x , α ) = 2 - k y D 1, k ( x , α ) = x .
- Ecuación funcional :
- donde y ≠ 0 , y 2 ≠ α .
- Función generadora :
Notas
- ↑ a b Lidl y Niederreiter 1983 , p. 355
- ↑ a b c Mullen y Panario , 2013 , p. 283
- ^ Lidl y Niederreitter 1983 , p. 356
- ^ Wang, Q .; Yucas, JL (2012), "Polinomios de Dickson sobre campos finitos", Campos finitos y sus aplicaciones , 18 (4): 814–831, doi : 10.1016 / j.ffa.2012.02.001
- ^ Mullen y Panario , 2013 , p. 287
- ^ Mullen y Panario , 2013 , p. 288
Referencias
- Brewer, BW (1961), "Sobre ciertas sumas de caracteres", Transactions of the American Mathematical Society , 99 (2): 241–245, doi : 10.2307 / 1993392 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993392 , MR 0120202 , Zbl 0103.03205
- Dickson, LE (1897). "La representación analítica de sustituciones sobre una potencia de un número primo de letras con una discusión del grupo lineal I, II". Ana. de Matemáticas . Los anales de las matemáticas. 11 (1/6): 65–120, 161–183. doi : 10.2307 / 1967217 . ISSN 0003-486X . JFM 28.0135.03 . JSTOR 1967217 .
- Fried, Michael (1970). "Sobre una conjetura de Schur" . Michigan Math. J . 17 : 41–55. doi : 10.1307 / mmj / 1029000374 . ISSN 0026-2285 . Señor 0257033 . Zbl 0169.37702 .
- Lidl, R .; Mullen, GL; Turnwald, G. (1993). Polinomios de Dickson . Pitman Monografías y Encuestas en Matemática Pura y Aplicada. 65 . Longman Scientific & Technical, Harlow; coeditado en los Estados Unidos con John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. ISBN 978-0-582-09119-1. Señor 1237403 . Zbl 0823.11070 .
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983). Campos finitos . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 20 (1ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13519-0. Zbl 0866.11069 .
- Mullen, Gary L. (2001) [1994], "Polinomios de Dickson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
- Müller, Peter (1997). "Una prueba gratuita de Weil-bound de la conjetura de Schur". Campos finitos y sus aplicaciones . 3 : 25–32. doi : 10.1006 / ffta.1996.0170 . Zbl 0904.11040 .
- Rassias, Thermistocles M .; Srivastava, HM; Yanushauskas, A. (1991). Temas en polinomios de una y varias variables y sus aplicaciones: un legado de PLChebyshev . World Scientific. págs. 371–395. ISBN 978-981-02-0614-7.
- Turnwald, Gerhard (1995). "Sobre la conjetura de Schur" . J. Austral. Matemáticas. Soc. Ser. Una . 58 (3): 312–357. doi : 10.1017 / S1446788700038349 . Señor 1329867 . Zbl 0834.11052 .
- Joven, Paul Thomas (2002). "Sobre polinomios de Dickson modificados" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 40 (1): 33–40.