raíz unitaria

En teoría de probabilidad y estadística , una raíz unitaria es una característica de algunos procesos estocásticos (como los paseos aleatorios ) que pueden causar problemas en la inferencia estadística que involucra modelos de series de tiempo . Un proceso estocástico lineal tiene una raíz unitaria si 1 es una raíz de la ecuación característica del proceso . Tal proceso no es estacionario pero no siempre tiene una tendencia.

Si las otras raíces de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo unitario, es decir, tienen un módulo ( valor absoluto ) menor que uno, entonces la primera diferencia del proceso será estacionaria; de lo contrario, el proceso deberá diferenciarse varias veces para volverse estacionario. ^[1] Si hay d raíces unitarias, el proceso tendrá que ser diferenciado d veces para hacerlo estacionario. ^[2] Debido a esta característica, los procesos de raíces unitarias también se denominan estacionarios en diferencias. ^{[3] [4]}

Los procesos de raíz unitaria a veces se pueden confundir con procesos estacionarios de tendencia ; si bien comparten muchas propiedades, son diferentes en muchos aspectos. Es posible que una serie de tiempo no sea estacionaria, pero que no tenga raíz unitaria y sea estacionaria en tendencia. Tanto en los procesos de raíz unitaria como en los de tendencia estacionaria, la media puede crecer o disminuir con el tiempo; sin embargo, en presencia de un shock, los procesos de tendencia estacionaria son de reversión a la media (es decir, transitorios, la serie de tiempo convergerá nuevamente hacia la media creciente, que no se vio afectada por el shock), mientras que los procesos de raíz unitaria tienen un impacto permanente en la media (es decir, sin convergencia en el tiempo). ^[5]

Si una raíz de la ecuación característica del proceso es mayor que 1, entonces se llama un proceso explosivo , aunque tales procesos a veces se denominan incorrectamente procesos de raíces unitarias.

Considere un proceso estocástico de tiempo discreto y suponga que se puede escribir como un proceso autorregresivo de orden  p :${\ estilo de visualización (y_ {t}, t = 1,2,3, \ ldots)}$

Aquí, hay un proceso estocástico de media cero serialmente no correlacionado con varianza constante . Por conveniencia, asuma . Si es una raíz de la ecuación característica , de multiplicidad 1:${\ estilo de visualización (\ varepsilon _ {t}, t = 0,1,2, \ ldots,)}$${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2}}$${\ estilo de visualización y_ {0} = 0}$${\ estilo de visualización m = 1}$

El diagrama anterior muestra un ejemplo de una posible raíz unitaria. La línea roja representa una caída observada en la producción. El verde muestra la ruta de recuperación si la serie tiene una raíz unitaria. El azul muestra la recuperación si no hay raíz unitaria y la serie es estacionaria en tendencia. La línea azul vuelve a encontrarse y seguir la línea de tendencia discontinua, mientras que la línea verde permanece permanentemente por debajo de la tendencia. La hipótesis de la raíz unitaria también sostiene que un aumento en la producción conducirá a niveles de producción más altos que la tendencia anterior.