En matemáticas , una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas . [1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre las dos. Este tipo de relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, incluidas la ingeniería , la física , la economía y la biología .
El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación), y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más simples son solubles mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas exactamente.
A menudo, cuando no se dispone de una expresión en forma cerrada para las soluciones, las soluciones se pueden aproximar numéricamente utilizando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que se han desarrollado muchos métodos numéricos para determinar soluciones con un determinado grado de precisión.
Las ecuaciones diferenciales surgieron con la invención del cálculo por Newton y Leibniz . En el capítulo 2 de su obra de 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , [2] Isaac Newton enumeró tres tipos de ecuaciones diferenciales:
Resuelve estos ejemplos y otros usando series infinitas y analiza la no unicidad de las soluciones.
Jacob Bernoulli propuso la ecuación diferencial de Bernoulli en 1695. [3] Esta es una ecuación diferencial ordinaria de la forma