En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria se llama ecuación diferencial de Bernoulli si tiene la forma
dónde es un número real . Algunos autores permiten cualquier, [1] [2] mientras que otros exigen queno ser 0 o 1. [3] [4] La ecuación fue discutida por primera vez en una obra de 1695 por Jacob Bernoulli , de quien recibe su nombre. La primera solución, sin embargo, la ofreció Gottfried Leibniz , quien publicó su resultado en el mismo año y cuyo método es el que todavía se usa en la actualidad. [5]
Las ecuaciones de Bernoulli son especiales porque son ecuaciones diferenciales no lineales con soluciones exactas conocidas. Un caso especial notable de la ecuación de Bernoulli es la ecuación diferencial logística .
Transformación a una ecuación diferencial lineal
Cuándo , la ecuación diferencial es lineal . Cuándo, es separable . En estos casos, se pueden aplicar técnicas estándar para resolver ecuaciones de esas formas. Para y , la sustitucion reduce cualquier ecuación de Bernoulli a una ecuación diferencial lineal . Por ejemplo, en el caso, haciendo la sustitución en la ecuación diferencial produce la ecuación , que es una ecuación diferencial lineal.
Solución
Dejar y
ser una solución de la ecuación diferencial lineal
Entonces tenemos eso es una solución de
Y para cada ecuación diferencial de este tipo, para todos tenemos como solución para .
Ejemplo
Considere la ecuación de Bernoulli
(en este caso, más concretamente la ecuación de Riccati ). La función constantees una solucion. División por rendimientos
Cambiar variables da las ecuaciones
que se puede resolver utilizando el factor de integración
Multiplicar por ,
El lado izquierdo se puede representar como la derivada deinvirtiendo la regla del producto . Aplicando la regla de la cadena e integrando ambos lados con respecto a resultados en las ecuaciones
La solucion para es
Notas
- ^ Zill, Dennis G. (2013). Un primer curso en ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (10ª ed.). Boston, Massachusetts: Aprendizaje Cengage . pag. 73. ISBN 9780357088364.
- ^ Stewart, James (2015). Cálculo: principios trascendentales (8ª ed.). Boston, Massachusetts: Aprendizaje Cengage . pag. 625. ISBN 9781305482463.
- ^ Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Bernoulli" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Teschl, Gerald (2012). "1.4. Encontrar soluciones explícitas" (PDF) . Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . Providence, Rhode Island : Sociedad Americana de Matemáticas . pag. 15. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339 . Zbl 1263.34002 .
- ^ Parker, Adam E. (2013). "¿Quién resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli y cómo lo hizo?" (PDF) . The College Mathematics Journal . 44 (2): 89–97. ISSN 2159-8118 : a través de la Asociación Matemática de América .
Referencias
- Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. De Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Citado en Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .
- Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: Problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
enlaces externos
- "Ecuación de Bernoulli" . PlanetMath .
- "Ecuación diferencial" . PlanetMath .
- "Índice de ecuaciones diferenciales" . PlanetMath .