En el campo matemático del análisis , el teorema de Dini dice que si una secuencia monótona de funciones continuas converge puntualmente en un espacio compacto y si la función límite también es continua, entonces la convergencia es uniforme. [1]
Declaración formal
Si X es un espacio topológico compacto , y { f n } es una secuencia monótonamente creciente (es decir, f n ( x ) ≤ f n +1 ( x ) para todos n y x ) de funciones continuas de valor real en X que convergen puntualmente a una función continua f , entonces la convergencia es uniforme . La misma conclusión es válida si { f n } disminuye monótonamente en lugar de aumentar. El teorema lleva el nombre de Ulisse Dini . [2]
Ésta es una de las pocas situaciones en matemáticas donde la convergencia puntual implica una convergencia uniforme; la clave es el mayor control que implica la monotonicidad. La función límite debe ser continua, ya que un límite uniforme de funciones continuas es necesariamente continuo.
Prueba
Sea ε> 0. Para cada n , sea g n = f - f n , y sea E n el conjunto de aquellos x ∈ X tales que g n ( x ) <ε. Cada g n es continuo, por lo que cada E n es abierto (porque cada E n es la preimagen de un conjunto abierto bajo g n , una función continua no negativa). Dado que { f n } aumenta monótonamente, { g n } disminuye monótonamente, se deduce que la secuencia E n es ascendente. Desde f n converge puntualmente a f , se deduce que la colección { E n } es una cubierta abierta de X . Por compacidad, hay una subcubierta finita, y dado que E n están ascendiendo, la más grande de estas también es una cubierta. Por lo tanto obtenemos que hay algún número entero positivo N tal que E N = X . Es decir, si n > N y x es un punto en X , entonces | f ( x ) - f norte ( x ) | <ε, como se desee.
Notas
- ^ Edwards 1994 , p. 165. Friedman 2007 , pág. 199. Graves 2009 , pág. 121. Thomson, Bruckner y Bruckner 2008 , p. 385.
- ^ Según Edwards 1994 , p. 165, "[Este teorema] se llama teorema de Dini porque Ulisse Dini (1845-1918) presentó la versión original del mismo en su libro sobre la teoría de funciones de una variable real, publicado en Pisa en 1878".
Referencias
- Bartle, Robert G. y Sherbert Donald R. (2000) "Introducción al análisis real, tercera edición" Wiley. p 238. - Presenta una prueba mediante galgas.
- Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68336-2.
- Graves, Lawrence Murray (2009) [1946]. La teoría de funciones de variables reales . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47434-2.
- Friedman, Avner (2007) [1971]. Cálculo avanzado . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45795-6.
- Jost, Jürgen (2005) Análisis posmoderno, tercera edición, Springer. Vea el Teorema 12.1 en la página 157 para el caso creciente monótono.
- Rudin, Walter R. (1976) Principios del análisis matemático, tercera edición, McGraw-Hill. Vea el Teorema 7.13 en la página 150 para el caso decreciente monótono.
- Thomson, Brian S .; Bruckner, Judith B .; Bruckner, Andrew M. (2008) [2001]. Análisis real elemental . ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.