En matemáticas y, específicamente, en análisis real , las derivadas de Dini (o derivadas de Dini ) son una clase de generalizaciones de la derivada . Fueron introducidos por Ulisse Dini quien estudió funciones continuas pero indiferenciables, para lo cual definió las llamadas derivadas de Dini.
La derivada superior de Dini , que también se denomina derivada superior derecha , [1] de una función continua
se denota por f y definido por
donde lim sup es el límite superior y el límite es un límite unilateral . La derivada de Dini inferior , f, es definido por
donde lim inf es el límite mínimo .
Si f se define en un espacio vectorial , entonces la derivada de Dini superior en t en la dirección d está definida por
Si f es localmente Lipschitz , entonces fes finito. Si f es derivable en t , entonces la derivada de Dini en t es la derivada habitual en t .
Observaciones
- Las funciones se definen en términos de infimum y supremum para hacer que las derivadas de Dini sean lo más "a prueba de balas" posible, de modo que las derivadas de Dini estén bien definidas para casi todas las funciones, incluso para funciones que no son diferenciables convencionalmente. El resultado del análisis de Dini es que una función es diferenciable en el punto t de la línea real ( ℝ ), solo si todas las derivadas de Dini existen y tienen el mismo valor.
- A veces se usa la notación D + f ( t ) en lugar de f( t ) y D - f ( t ) se usa en lugar de f( t ) . [1]
- También,
y
- .
- Entonces, cuando se usa la notación D de las derivadas de Dini, el signo más o menos indica el límite izquierdo o derecho, y la ubicación del signo indica el límite mínimo o superior .
- Hay otros dos derivados de Dini, definidos como
y
- .
que son los mismos que el primer par, pero con el supremum y el infimum invertidos. Solo para funciones moderadamente mal comportadas, las dos derivadas Dini adicionales no son necesarias. Para funciones que se comportan particularmente mal, si las cuatro derivadas de Dini tienen el mismo valor () entonces la función f es derivable en el sentido habitual en el punto t .
- En los reales extendidos , cada una de las derivadas de Dini siempre existe; sin embargo, pueden tomar los valores + ∞ o −∞ a veces (es decir, las derivadas de Dini siempre existen en el sentido extendido ).
Ver también
Referencias
- ↑ a b Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 0-13-067389-7.
- Lukashenko, TP (2001) [1994], "Dini derivative" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- Royden, HL (1968). Análisis real (2ª ed.). MacMillan. ISBN 978-0-02-404150-0.
- Thomson, Brian S .; Bruckner, Judith B .; Bruckner, Andrew M. (2008). Análisis real elemental . ClassicalRealAnalysis.com [primera edición publicada por Prentice Hall en 2001]. págs. 301-302. ISBN 978-1-4348-4161-2.
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