Recta numérica real extendida

Extension of the reals by +∞ and −∞.

Este artículo trata sobre la extensión de los reales por + ∞ y −∞ . Para la extensión por un solo punto en el infinito, consulte Línea real extendida proyectivamente .

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En matemáticas , el sistema de números reales afines se obtiene del sistema de números reales agregando dos elementos infinitos : y , ^[a] donde los infinitos se tratan como números reales. ^[1] Es útil para describir el álgebra de infinitos y los diversos comportamientos limitantes en cálculo y análisis matemático , especialmente en la teoría de la medida y la integración . ^[2] El sistema de números reales afines extendido se denota o o . ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$Es la finalización Dedekind-MacNeille de los números reales.

Cuando el significado se desprende del contexto, el símbolo suele escribirse simplemente como . ^[3]${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \infty }$

Motivación

Límites

A menudo es útil describir el comportamiento de una función , ya que el argumento o el valor de la función se vuelven "infinitamente grandes" en algún sentido. Por ejemplo, considere la función${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en . Geométricamente, cuando se mueve cada vez más hacia la derecha a lo largo del eje-, el valor de se acerca a 0. Este comportamiento limitante es similar al límite de una función en la que se acerca el número real , excepto que no hay un número real al que se acerca.${\displaystyle y=0}$${\displaystyle x}$${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$

Al unir los elementos y al , permite formular un "límite en el infinito", con propiedades topológicas similares a las de .${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para hacer las cosas completamente formales, la definición de secuencias de Cauchy permite definir como el conjunto de todas las secuencias de números racionales, de manera que cada está asociado con un correspondiente para el cual para todos . La definición de se puede construir de manera similar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a_{n}>M}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle -\infty }$

Medida e integración

En la teoría de medidas , a menudo es útil permitir conjuntos que tienen medidas infinitas e integrales cuyo valor puede ser infinito.

Tales medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, en la asignación de una medida a que coincide con la duración habitual de intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. Además, al considerar integrales impropias , como${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

surge el valor "infinito". Finalmente, a menudo es útil considerar el límite de una secuencia de funciones, como

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n\left(1-nx\right),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Sin permitir que las funciones tomen valores infinitos, resultados esenciales como el teorema de convergencia monótono y el teorema de convergencia dominado no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas

El sistema de números reales afinadamente extendido se puede convertir en un conjunto totalmente ordenado , definiendo para todos . Con este orden , la topología tiene la propiedad deseable de compacidad : cada subconjunto de tiene un supremum y un infimum ^[4] (el infimum del conjunto vacío es y su supremum es ). Además, con esta topología, es homeomorfo al intervalo unitario . Por tanto, la topología es metrizable${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1]}$, correspondiente (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este intervalo. No existe una métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en .${\displaystyle \mathbb {R} }$

En esta topología, un conjunto es una vecindad de , si y solo si contiene un conjunto para algún número real . La noción de vecindad de se puede definir de manera similar. El uso de esta caracterización de los barrios extendidos-real, las definidas especialmente límites para tendiendo a y , y los conceptos definidos especialmente de límites iguales a y se reducen a la definición topológica general de límites.${\displaystyle U}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \{x:x>a\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas de pueden extenderse parcialmente a lo siguiente: ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$

Para la exponenciación, consulte Exponenciación § Límites de potencias . Aquí, " "${\displaystyle a+\infty }$ significa " "${\displaystyle a+(+\infty )}$ y " ",${\displaystyle a-(-\infty )}$ mientras que " "${\displaystyle a-\infty }$ significa " "${\displaystyle a-(+\infty )}$ y " ".${\displaystyle a+(-\infty )}$

Las expresiones y (llamadas formas indeterminadas ) generalmente se dejan sin definir . Estas reglas se basan en las leyes de límites infinitos . Sin embargo, en el contexto de la probabilidad o la teoría de la medida, a menudo se define como . ^[5]${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$${\displaystyle 0\times \pm \infty }$${\displaystyle 0}$

Cuando se trata con tanto positivos como negativos extendido números reales, la expresión generalmente se deja sin definir, ya que, si bien es cierto que para cada secuencia diferente de cero real, que converge a , la secuencia recíproca es eventualmente contenida en cada barrio de , es no cierto que la secuencia debe converger en sí misma a una de las dos o dicho de otra manera, si una función continua alcanza un cero en un cierto valor, entonces no es necesario que sea el caso que tiende a cualquiera de las dos o en el límite como tiende a hacerlo . Este es el caso de los límites de la${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$función identidad cuando tiende a 0, y de (para esta última función, ni ni es límite de , aunque solo se consideren valores positivos de ).${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/f(x)}$${\displaystyle x}$

Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definirlos . Por ejemplo, cuando se trabaja con series de potencias, el radio de convergencia de una serie de potencias con coeficientes se define a menudo como el recíproco del límite superior de la secuencia . Por lo tanto, si uno permite tomar el valor , entonces puede usar esta fórmula independientemente de si el límite superior es o no.${\displaystyle 1/0=+\infty }$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \left\{|a_{n}|^{1/n}\right\}}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle 0}$

Propiedades algebraicas

Con estas definiciones, es no incluso un semigrupo , y mucho menos un grupo , un anillo o un campo como en el caso de . Sin embargo, tiene varias propiedades convenientes:${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$y son iguales o ambos indefinidos.${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$y son iguales o ambos indefinidos.${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$y son iguales o ambos indefinidos.${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$y son iguales o ambos indefinidos${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$y son iguales si ambos están definidos.${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Si y si ambos y están definidos, entonces .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a+c}$${\displaystyle b+c}$${\displaystyle a+c\leq b+c}$
• Si y y si ambos y están definidos, entonces .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle a\cdot c}$${\displaystyle b\cdot c}$${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$

En general, todas las leyes de la aritmética son válidas en , siempre que se definan todas las expresiones que ocurren.${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Varios

Varias funciones se pueden ampliar continuamente tomando límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones de la siguiente manera:${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \exp(-\infty )=0,\ \ln(0)=-\infty ,\ \tanh(\pm \infty )=\pm 1,\ \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$

Además, se pueden eliminar algunas singularidades . Por ejemplo, la función se puede extender continuamente a (en algunas definiciones de continuidad), estableciendo el valor de a para , y para y . Por otro lado, la función puede no extenderse de forma continua, ya que la función se acerca como enfoques de abajo, y como los enfoques de arriba.${\displaystyle 1/x^{2}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=+\infty }$${\displaystyle x=-\infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$

Un sistema de línea real similar pero diferente, la línea real proyectada extendida , no distingue entre y (es decir, el infinito no tiene signo). ^[6] Como resultado, una función puede tener un límite en la línea real proyectada extendida, mientras que en el sistema de números reales afinamente extendido, solo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo, en el caso de la función en . Por otro lado${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ y ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$

corresponden en la línea real proyectada extendida a solo un límite desde la derecha y uno desde la izquierda, respectivamente, con el límite completo solo existiendo cuando los dos son iguales. Por lo tanto, las funciones y no pueden hacerse continuas en la línea real proyectada extendida.${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \arctan(x)}$${\displaystyle x=\infty }$

Ver también

• División por cero
• Plano complejo extendido
• Números naturales extendidos
• Integral inadecuado
• infinito
• Registro de semiring
• Serie (matemáticas)
• Línea real proyectada extendida
• Representaciones informáticas de números reales extendidos, consulte Aritmética de punto flotante § Infinitos y punto flotante IEEE

Notas

1. leer como infinito positivo e infinito negativo respectivamente

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - infinito" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
2. Wilkins, David (2007). "Sección 6: El sistema extendido de números reales" (PDF) . maths.tcd.ie . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
3. Weisstein, Eric W. "Números reales afinamente extendidos" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
4. Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 de enero de 2018). Análisis funcional aplicado (3 ed.). Chapman y Hall / CRC. pag. 74. ISBN 9781498761147. Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
5. "número real extendido en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
6. Weisstein, Eric W. "Números reales extendidos proyectivamente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .

Lectura adicional

• Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998), Principios del análisis real (3ª ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 0-12-050257-7, MR  1669668
• David W. Cantrell. "Números reales afinamente extendidos" . MathWorld .