En matemáticas , en el campo de la teoría de la gavilla y especialmente en la geometría algebraica , el funtor de imagen directa generaliza la noción de una sección de una gavilla al caso relativo.
Definición
Sea f : X → Y un mapeo continuo de espacios topológicos , y Sh (-) denota la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El functor de imagen directo
envía una gavilla F en X a su imagen directa de la gavilla, que se define en los subconjuntos abiertos U de Y por
que resulta ser una gavilla en Y , también llamada gavilla de empuje hacia adelante .
Esta asignación es funtorial, es decir, un morfismo de poleas φ: F → G en X da lugar a un morfismo de haces f * (φ): f * ( F ) → f * ( G ) en Y .
Ejemplo
Si Y es un punto, entonces la imagen directa es igual al functor de secciones globales . Sea f: X → Y un mapa continuo de espacios topológicos o un morfismo de esquemas. Entonces, la excepcional imagen inversa es un functor f ! : D (Y) → D (X).
Variantes
Se aplica una definición similar a las gavillas en topoi , como las gavillas étale . En lugar de la preimagen f −1 ( U ) anterior, se usa el producto de fibra de U y X sobre Y.
Imágenes directas más altas
El functor de imagen directo es exacto a la izquierda , pero generalmente no exacto a la derecha. Por tanto, se pueden considerar los functores derivados correctos de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan como R q f ∗ .
Se puede mostrar que hay una expresión similar a la anterior para imágenes directas superiores: para una gavilla F en X , R q f ∗ ( F ) es la gavilla asociada a la gavilla previa
Propiedades
- El functor de imagen directo es adyacente al functor de imagen inverso , lo que significa que para cualquier y gavillas respectivamente en X , Y , hay un isomorfismo natural:
- .
- Si f es la inclusión de un subespacio cerrado X ⊆ Y, entonces f ∗ es exacta. En realidad, en este caso f * es una equivalencia entre poleas en X y las poleas en Y admite en X . Se deduce del hecho de que el tallo de es Si y cero en caso contrario (aquí se utiliza la cercanía de X en Y ).
Ver también
Referencias
- Iversen, Birger (1986), Cohomology of gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190, esp. sección II.4
Este artículo incorpora material de Direct image (functor) en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .