En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , un funtor exacto es un funtor que conserva secuencias breves y exactas . Los functores exactos son convenientes para los cálculos algebraicos porque se pueden aplicar directamente a presentaciones de objetos. Gran parte del trabajo en álgebra homológica está diseñado para hacer frente a functores que no son exactos, pero de formas que aún pueden controlarse.
Definiciones
Deje que P y Q sean categorías abelianas , y dejar que F : P → Q sea un funtor aditivo covariante (de modo que, en particular, F (0) = 0 ). Decimos que F es un funtor exacto si, siempre que
es una breve secuencia exacta en P , entonces
es una sucesión exacta corta en Q . (Los mapas a menudo se omiten e implican, y uno dice: "si 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0 también es exacto" .)
Además, decimos que F es
- exacto a la izquierda si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → F (A) → F (B) → F (C) es exacto;
- exacto a la derecha si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces F (A) → F (B) → F (C) → 0 es exacto;
- medio exacto si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces F (A) → F (B) → F (C) es exacto. Esto es distinto de la noción de un funtor topológico semiexacto .
Si G es un funtor aditivo contravariante de P a Q , de manera similar definimos G como
- exacto si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → G (C) → G (B) → G (A) → 0 es exacto;
- exacto a la izquierda si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → G (C) → G (B) → G (A) es exacto;
- exacto a la derecha si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces G (C) → G (B) → G (A) → 0 es exacto;
- medio exacto si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces G (C) → G (B) → G (A) es exacto.
No siempre es necesario comenzar con una secuencia corta y exacta completa 0 → A → B → C → 0 para mantener cierta exactitud. Las siguientes definiciones son equivalentes a las dadas anteriormente:
- F es exacta si y solo si A → B → C exacta implica F (A) → F (B) → F (C) exacta;
- F es exacta a la izquierda si y solo si 0 → A → B → C exacta implica 0 → F (A) → F (B) → F (C) exacta (es decir, si " F convierte granos en granos");
- F es exacto a la derecha si y solo si A → B → C → 0 exacto implica F (A) → F (B) → F (C) → 0 exacto (es decir, si " F convierte cokernels en cokernels");
- G es exacto a la izquierda si y solo si A → B → C → 0 exacto implica 0 → G (C) → G (B) → G (A) exacto (es decir, si " G convierte los cokernels en granos");
- G es exacta a la derecha si y solo si 0 → A → B → C exacta implica G (C) → G (B) → G (A) → 0 exacta (es decir, si " G convierte granos en cokernels").
Ejemplos de
Toda equivalencia o dualidad de categorías abelianas es exacta.
Los ejemplos más básicos de functores exactos a la izquierda son los functores Hom: si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces F A ( X ) = Hom A ( A , X ) define un functor covariante exacto a la izquierda de A a la categoría Ab de grupos abelianos . [1] El funtor F A es exacto si y solo si A es proyectivo . [2] El funtor G A ( X ) = Hom A ( X , A ) es un funtor exacto a la izquierda contravariante; [3] es exacto si y solo si A es inyectivo . [4]
Si k es un campo y V es un espacio vectorial sobre k , escribimos V * = Hom k ( V , k ) (esto se conoce comúnmente como el espacio dual ). Esto produce un funtor exacto contravariante de la categoría de espacios de k -vector a sí mismo. (La exactitud se deriva de lo anterior: k es un módulo k inyectivo . Alternativamente, se puede argumentar que cada secuencia corta exacta de espacios de k -vectores se divide , y cualquier funtor aditivo convierte las secuencias divididas en secuencias divididas).
Si X es un espacio topológico , podemos considerar la categoría abeliana de todas las gavillas de grupos abelianos en X . El funtor covariante que asocia a cada haz F el grupo de secciones globales F ( X ) es exacto a la izquierda.
Si R es un anillo y T es un derecho R - módulo , podemos definir un funtor H T de la abeliano categoría de todos izquierda R -modules a Ab utilizando el producto tensorial sobre R : H T ( X ) = T ⊗ X . Este es un funtor exacto derecho covariante; es exacto si y solo si T es plano . En otras palabras, dada una secuencia exacta A → B → C → 0 de módulos R izquierdos , la secuencia de grupos abelianos T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 es exacta.
Por ejemplo, es un piso -módulo. Por lo tanto, tensar con como un -module es un functor exacto. Prueba: basta con mostrar que si i es un mapa inyectivo de-módulos , luego el mapa correspondiente entre los productos tensoriales es inyectable. Uno puede demostrar que si y solo si es un elemento de torsión o . Los productos tensoriales dados solo tienen tensores puros. Por tanto, basta con mostrar que si un tensor puroestá en el kernel, entonces es cero. Suponer quees un elemento distinto de cero del kernel. Luego,es torsión. Desde es inyectable, es torsión. Por lo tanto,, que es una contradicción. Por lo tanto, también es inyectable.
En general, si T no es plano, el producto del tensor no se deja exacto. Por ejemplo, considere la breve secuencia exacta de-módulos . Tensando sobre con da una secuencia que ya no es exacta, ya que no está libre de torsión y, por lo tanto, no es plano.
Si A es una categoría abeliana y C es una categoría pequeña arbitraria , podemos considerar la categoría de funtor A C que consta de todos los funtores de C a A ; es abeliano. Si X es un objeto dado de C , entonces tenemos un funtor E X de una C a A mediante la evaluación de funtores en X . Este functor E X es exacto.
Si bien el tensor puede no ser exacto a la izquierda, se puede demostrar que el tensor es un functor exacto derecho:
Teorema: Let A, B, C y P sea R módulos para un anillo conmutativo R que tiene una identidad multiplicativa. Dejar
ser una secuencia corta y exacta de módulos R , entonces
- es también una breve secuencia exacta de módulos R. (Dado que R es conmutativa, esta secuencia es una secuencia de módulos R y no simplemente de grupos abelianos). Aquí definimos: .
Esto tiene un corolario útil: si I es un ideal de R y P es como arriba, entonces
Prueba: :, donde f es la inclusión yg es la proyección, es una secuencia exacta de R módulos. Por lo anterior obtenemos que:es también una breve secuencia exacta de módulos R. Por exactitud,, ya que f es la inclusión. Ahora, considere el homomorfismo del módulo R dedado por R extendiendo linealmente el mapa definido en tensores puros: implica que . Por lo tanto, el núcleo de este mapa no puede contener tensores puros distintos de cero. se compone únicamente de tensores puros: Para . Entonces, este mapa es inyectivo. Está claro que está en marcha. Entonces,. Similar,. Esto prueba el corolario.
Como otra aplicación, mostramos que para, dónde y n es la potencia más alta de 2 dividiendo m . Demostramos un caso especial: m = 12 .
Prueba: considere un tensor puro . También por. Esto muestra que. Dejando, A, B, C, P son módulos R = Z mediante la acción de multiplicación habitual y satisfacen las condiciones del teorema principal. Por la exactitud que implica el teorema y por la nota anterior obtenemos que. La última congruencia sigue por un argumento similar al de la prueba del corolario que muestra que.
Propiedades y teoremas
Un funtor es exacto si y solo si es exacto a la izquierda y exacto a la derecha.
Un funtor covariante (no necesariamente aditivo) se deja exacto si y solo si convierte límites finitos en límites; un funtor covariante es exacto si y solo si convierte colimits finitos en colimits; un funtor contravariante se deja exacto si y sólo si convierte colimits finitos en límites; un funtor contravariante es exacto si y solo si convierte límites finitos en colimits.
El grado en el que un funtor exacto izquierdo deja de ser exacto se puede medir con sus functores derivados derechos ; el grado en el que un funtor exacto derecho deja de ser exacto se puede medir con sus functores derivados izquierdos .
Los functores exactos izquierdo y derecho son ubicuos principalmente por el siguiente hecho: si el functor F se deja adjunto a G , entonces F es exacto a la derecha y G es exacto a la izquierda.
Generalizaciones
En SGA4 , tomo I, sección 1, la noción de functores exactos izquierdo (derecho) se define para categorías generales, y no solo abelianas. La definición es la siguiente:
- Sea C una categoría con límites proyectivos (o inductivos) finitos . Entonces, un funtor de C a otra categoría C ′ se deja (resp. Derecha) exacto si conmuta con límites proyectivos finitos (resp. Inductivos).
A pesar de su abstracción, esta definición general tiene consecuencias útiles. Por ejemplo, en la sección 1.8, Grothendieck demuestra que un funtor es pro-representable si y sólo si se deja exacta, bajo algunas condiciones suaves en la categoría C .
Los functores exactos entre las categorías exactas de Quillen generalizan los functores exactos entre las categorías abelianas discutidas aquí.
Los functores regulares entre categorías regulares a veces se denominan functores exactos y generalizan los functores exactos discutidos aquí.
Notas
Referencias
- Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.