En matemáticas, los teoremas del cambio de base relacionan la imagen directa y el retroceso de las gavillas . Más precisamente, se trata del mapa de cambio de base, dado por la siguiente transformación natural de las poleas:
dónde
es un cuadrado cartesiano de espacios topológicos yes una gavilla en X .
Tales teoremas existen en diferentes ramas de la geometría: para espacios topológicos (esencialmente arbitrarios) y mapas propios f , en geometría algebraica para gavillas (cuasi) coherentes yf propia o g plana, de manera similar en geometría analítica , pero también para gavillas étale para f adecuado o g suave.
Introducción
Un fenómeno de cambio de base simple surge en el álgebra conmutativa cuando A es un anillo conmutativo y B y A ' son dos A -álgebras. Dejar. En esta situación, dado un módulo B M , hay un isomorfismo (de módulos A ' ):
Aquí el subíndice indica el functor olvidadizo, es decir, es M , pero se considera un módulo A. De hecho, tal isomorfismo se obtiene observando
Por tanto, las dos operaciones, a saber, functores olvidadizos y productos tensoriales, conmutan en el sentido del isomorfismo anterior. Los teoremas de cambio de base que se analizan a continuación son enunciados de tipo similar.
Definición del mapa de cambio de base
Todos los teoremas de cambio de base presentados a continuación afirman que (para diferentes tipos de roldanas, y bajo varios supuestos en los mapas involucrados), que el siguiente mapa de cambio de base
es un isomorfismo, donde
son mapas continuos entre espacios topológicos que forman un cuadrado cartesiano yes una gavilla en X . [1] Aquídenota la imagen directa superior debajo f , es decir, el functor derivado del functor de imagen directa (también conocido como pushforward).
Este mapa existe sin suposiciones en los mapas f y g . Está construido de la siguiente manera: desdese deja adjunto a, hay un mapa natural (llamado mapa de unidades)
y entonces
La secuencia espectral de Grothendieck luego da el primer mapa y el último mapa (son mapas de borde) en:
Combinando esto con los rendimientos anteriores
Usando la contigüidad de y finalmente produce el mapa deseado.
El ejemplo introductorio mencionado anteriormente es un caso especial de esto, a saber, para los esquemas afines y consecuentemente, , y la gavilla casi coherente asociado a la B -módulo M .
Es conceptualmente conveniente organizar los mapas de cambio de base anteriores, que solo involucran a un único functor de imagen directo superior, en uno que codifique todos a la vez. De hecho, argumentos similares a los anteriores producen un mapa en la categoría derivada de poleas en S ':
dónde denota el functor derivado (total) de .
Topología general
Cambio de base adecuado
Si X es un espacio topológico de Hausdorff , S es un espacio de Hausdorff localmente compacto yf es universalmente cerrado (es decir,es un mapa cerrado para cualquier mapa continuo), luego el mapa de cambio de base
es un isomorfismo. [2] De hecho, tenemos: para,
y así para
Para codificar todos los functores derivados superiores individuales de en una entidad, la declaración anterior se puede reformular de manera equivalente diciendo que el mapa de cambio de base
es un cuasi-isomorfismo .
Las suposiciones de que los espacios involucrados sean Hausdorff han sido debilitadas por Schnürer & Soergel (2016) .
Lurie (2009) ha extendido el teorema anterior a la cohomología de gavillas no abelianas , es decir, gavillas que toman valores en conjuntos simpliciales (en oposición a grupos abelianos). [3]
Imagen directa con soporte compacto
Si el mapa f no está cerrado, el mapa de cambio de base no necesita ser un isomorfismo, como muestra el siguiente ejemplo (los mapas son las inclusiones estándar):
Por una parte es siempre cero, pero si es un sistema local encorrespondiente a una representación del grupo fundamental (que es isomorfo a Z ), entoncespuede calcularse como las invariantes de la acción de monodromía deen el tallo (para cualquier ), que no tiene por qué desaparecer.
Para obtener un resultado de cambio de base, el funtor (o su functor derivado) tiene que ser reemplazado por la imagen directa con soporte compacto . Por ejemplo, si es la inclusión de un subconjunto abierto, como en el ejemplo anterior, es la extensión por cero, es decir, sus tallos están dados por
En general, hay un mapa , que es un cuasi-isomorfismo si f es adecuado, pero no en general. El teorema del cambio de base adecuado mencionado anteriormente tiene la siguiente generalización: hay un cuasi-isomorfismo [4]
Cambio de base para poleas cuasi coherentes
Cambio de base adecuado
Los teoremas de cambio de base adecuados para poleas cuasi coherentes se aplican en la siguiente situación:es un morfismo apropiado entre esquemas noetherianos , yes una gavilla coherente que es plana sobre S (es decir,es plano sobre). En esta situación, las siguientes declaraciones son válidas: [5]
- "Teorema de la semicontinuidad":
- Para cada , la función es semicontinuo superior .
- La función es localmente constante, donde denota la característica de Euler .
- " Teorema de Grauert ": si S se reduce y se conecta, entonces para cada los siguientes son equivalentes
- es constante.
- es localmente gratis y el mapa natural
- es un isomorfismo para todos .
- Además, si estas condiciones se mantienen, entonces el mapa natural
- es un isomorfismo para todos .
- Si, para algunos p , para todos , luego el mapa natural
- es un isomorfismo para todos .
Como el tallo de la gavillaestá estrechamente relacionado con la cohomología de la fibra del punto bajo f , esta afirmación se parafrasea diciendo que "la cohomología conmuta con la extensión de la base". [6]
Estas declaraciones se prueban utilizando el siguiente hecho, donde además de los supuestos anteriores : hay un complejo finito de proyectivas finitamente generados A -modules y un isomorfismo natural de funtores
en la categoría de -álgebras.
Cambio de base plana
El mapa de cambio de base
es un isomorfismo para una gavilla casi coherente (en ), siempre que el mapa es plano (junto con una serie de condiciones técnicas: f debe ser un morfismo separado de tipo finito , los esquemas involucrados deben ser noetherianos). [7]
Cambio de base plana en la categoría derivada
Es posible una extensión de gran alcance del cambio de base plana al considerar el mapa de cambio de base
en la categoría derivada de poleas en S ', de manera similar a como se mencionó anteriormente. Aquí es el functor derivado (total) del retroceso de -módulos (porque implica un producto tensorial, no es exacto cuando g no es plano y, por lo tanto, no es igual a su functor derivado). Este mapa es un cuasi-isomorfismo siempre que se cumplan las siguientes condiciones: [8]
- es cuasi-compacto y es cuasi-compacto y cuasi-separado,
- es un objeto en , la categoría derivada acotada de -módulos, y sus gavillas de cohomología son casi coherentes (por ejemplo, podría ser un complejo acotado de haces cuasi coherentes)
- y son independientes de Tor sobre, lo que significa que si y satisfacer , luego para todos los enteros ,
- .
- Se cumple una de las siguientes condiciones:
- tiene una amplitud plana finita en relación con , lo que significa que es cuasi-isomorfo en a un complejo tal que es -plano para todos fuera de algún intervalo acotado ; de manera equivalente, existe un intervalo tal que para cualquier complejo en , uno tiene para todos fuera de ; o
- tiene una dimensión Tor finita, lo que significa que tiene una amplitud plana finita en relación con .
Una ventaja de esta formulación es que la hipótesis de la planitud se ha debilitado. Sin embargo, hacer cálculos concretos de la cohomología de los lados izquierdo y derecho ahora requiere la secuencia espectral de Grothendieck .
Cambio de base en geometría algebraica derivada
La geometría algebraica derivada proporciona un medio para descartar el supuesto de planitud, siempre que el retrocesoes reemplazado por el retroceso de homotopía . En el caso más fácil cuando X , S yson afines (con la notación anterior), el retroceso de homotopía viene dado por el producto tensorial derivado
Entonces, asumiendo que los esquemas (o, más generalmente, esquemas derivados) involucrados son cuasi-compactos y cuasi-separados, la transformación natural
es un cuasi-isomorfismo para cualquier gavilla cuasi coherente, o más generalmente un complejo de gavillas cuasi coherentes. [9] El resultado del cambio de base plana antes mencionado es de hecho un caso especial, ya que para g flat el retroceso de homotopía (que está dado localmente por un producto tensorial derivado) concuerda con el retroceso ordinario (dado localmente por el producto tensorial infravalorado), y dado que el retroceso a lo largo de los mapas planos g y g ' se derivan automáticamente (es decir,). Los supuestos auxiliares relacionados con la independencia de Tor o la amplitud de Tor en el teorema de cambio de base anterior también se vuelven innecesarios.
En la forma anterior, Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) han extendido el cambio de base a la situación en la que X , S y S ' son pilas (posiblemente derivadas) , siempre que el mapa f sea un mapa perfecto (que incluye el caso de que f es un mapa de esquemas cuasi-compacto, cuasi separado, pero también incluye pilas más generales, como la pila de clasificación BG de un grupo algebraico en la característica cero).
Variantes y aplicaciones
El cambio de base adecuado también es válido en el contexto de variedades complejas . [10] El teorema de las funciones formales es una variante del cambio de base adecuado, donde el retroceso se reemplaza por una operación de finalización .
El principio de balancín y el teorema del cubo , que son hechos fundamentales en la teoría de las variedades abelianas , son una consecuencia del cambio de base adecuado. [11]
Un cambio de base también es válido para los módulos D : si X , S , X ' y S' son variedades suaves (pero no es necesario que f y g sean planas o adecuadas, etc.), hay un cuasi-isomorfismo
dónde y denotar los functores de imagen directa e inversa para módulos- D . [12]
Cambio de base para poleas étale
Para poleas de torsión étale , hay dos resultados de cambio de base denominados cambio de base adecuado y suave , respectivamente: el cambio de base se mantiene sies apropiado . [13] También es válido si g es suave , siempre que f sea casi compacto y siempre que la torsión dees primo a la característica de los campos de residuos de X . [14]
Estrechamente relacionado con el cambio de base apropiado está el siguiente hecho (los dos teoremas generalmente se prueban simultáneamente): sea X una variedad sobre un campo separadamente cerrado yuna gavilla construible en. Luego son finitos en cada uno de los siguientes casos:
- X está completo, o
- no tiene p- torsión, donde p es la característica de k .
Bajo supuestos adicionales, Deninger (1988) extendió el teorema del cambio de base adecuado a las poleas étale sin torsión.
Aplicaciones
En estrecha analogía con la situación topológica mencionada anteriormente, el mapa de cambio de base para una inmersión abierta f ,
no suele ser un isomorfismo. [15] En cambio, la extensión por functor cero satisface un isomorfismo
Este hecho y el cambio de base adecuado sugieren definir el functor de imagen directo con soporte compacto para un mapa f por
dónde es una compactificación de f , es decir, una factorización en una inmersión abierta seguida de un mapa adecuado. Se necesita el teorema de cambio de base adecuado para demostrar que está bien definido, es decir, independiente (hasta el isomorfismo) de la elección de la compactación. Además, de nuevo en analogía con el caso de las poleas en un espacio topológico, una fórmula de cambio de base para vs. es válido para mapas incorrectos f .
Para el mapa estructural de un esquema sobre un campo k , las cohomologías individuales de, denotado por denominado cohomología con soporte compacto . Es una variante importante de la cohomología étale habitual .
También se utilizan ideas similares para construir un análogo del funtor en la teoría de la homotopía A 1 . [16] [17]
Ver también
- El punto de vista relativo de Grothendieck en geometría algebraica
- Cambio de base (desambiguación)
- Levantamiento de cambio de base de formas automórficas
Otras lecturas
- Esnault, H .; Kerz, M .; Wittenberg, O. (2016), "Un isomorfismo de restricción para ciclos de dimensión relativa cero", Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163-196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310 / CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID 54896268
Notas
- ^ Los roles de y son simétricas, y en algunos contextos (especialmente el cambio de base suave) la formulación más familiar es la otra (que trata en cambio con el mapa por una gavilla en ). Para mantener la coherencia, los resultados de este artículo a continuación se indican para la misma situación, es decir, el mapa; pero los lectores deben asegurarse de comparar esto con sus expectativas.
- ↑ Milne (2012 , Teorema 17.3)
- ↑ Lurie (2009 , Teorema 7.3.1.16)
- ↑ Iversen (1986) , se supone que los cuatro espacios son localmente compactos y de dimensión finita.
- ^ Grothendieck (1963 , Sección 7.7), Hartshorne (1977 , Teorema III.12.11), Vakil (2015 , Capítulo 28 Teoremas de cohomología y cambio de base )
- ^ Hartshorne (1977 , p. 255)
- ^ Hartshorne (1977 , Proposición III.9.3)
- ^ Berthelot, Grothendieck & Illusie (1971 , SGA 6 IV, Proposición 3.1.0)
- ↑ Toën (2012 , Proposición 1.4)
- ↑ Grauert (1960)
- ^ Mumford (2008)
- ^ Hotta, Takeuchi y Tanisaki (2008 , Teorema 1.7.3)
- ^ Artin, Grothendieck & Verdier (1972 , Exposé XII), Milne (1980 , sección VI.2)
- ^ Artin, Grothendieck y Verdier (1972 , Exposé XVI)
- ^ Milne (2012 , ejemplo 8.5)
- ^ Ayoub, Joseph (2007), Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique. I. , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-244-0, Zbl 1146.14001
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Referencias
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enlaces externos
- Folleto de Brian Conrad
- Problemas con la semicontinuidad