método iterativo
En matemática computacional , un método iterativo es un procedimiento matemático que utiliza un valor inicial para generar una secuencia de mejoras de soluciones aproximadas para una clase de problemas, en la que la n -ésima aproximación se deriva de las anteriores. Una implementación específica de un método iterativo, incluidos los criterios de terminación , es un algoritmo del método iterativo. Un método iterativo se llama convergente si la secuencia correspondiente converge para aproximaciones iniciales dadas. Por lo general, se realiza un análisis de convergencia matemáticamente riguroso de un método iterativo; sin embargo, heurísticoTambién son comunes los métodos iterativos basados en .
Por el contrario, los métodos directos intentan resolver el problema mediante una secuencia finita de operaciones. En ausencia de errores de redondeo , los métodos directos brindarían una solución exacta (por ejemplo, resolver un sistema lineal de ecuaciones por eliminación gaussiana ). Los métodos iterativos suelen ser la única opción para las ecuaciones no lineales . Sin embargo, los métodos iterativos a menudo son útiles incluso para problemas lineales que involucran muchas variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos serían prohibitivamente costosos (y en algunos casos imposibles) incluso con la mejor potencia informática disponible. [1]
Si una ecuación se puede poner en la forma f ( x ) = x , y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f , entonces uno puede comenzar con un punto x 1 en la cuenca de atracción de x , y sea x n +1 = f ( x n ) para n ≥ 1, y la secuencia { x n } n ≥ 1 convergerá a la solución x . Aquí x n es el nLa aproximación o iteración de x y x n +1 es la siguiente o n + 1 iteración de x . Alternativamente, los superíndices entre paréntesis a menudo se usan en métodos numéricos, para no interferir con los subíndices con otros significados. (Por ejemplo, x ( n +1) = f ( x ( n ) ).) Si la función f es continuamente diferenciable , una condición suficiente para la convergencia es que el radio espectralde la derivada está estrictamente acotada por uno en la vecindad del punto fijo. Si esta condición se cumple en el punto fijo, entonces debe existir una vecindad suficientemente pequeña (cuenca de atracción).
En el caso de un sistema de ecuaciones lineales , las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los métodos más generales del subespacio de Krylov .
Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y en base a una medida del error en el resultado ( el residual ), formar una "ecuación de corrección" para la cual se repite este proceso. Si bien estos métodos son simples de derivar, implementar y analizar, la convergencia solo está garantizada para una clase limitada de matrices.
y para un sistema lineal dado con solución exacta el error por
