En matemáticas , el radio espectral de una matriz cuadrada o un operador lineal acotado es el valor absoluto más grande de sus valores propios (es decir, superior entre los valores absolutos de los elementos de su espectro ). A veces se denota por ρ (·).
Matrices
Sea λ 1 , ..., λ n los valores propios ( reales o complejos ) de una matriz A ∈ C n × n . Entonces su radio espectral ρ ( A ) se define como:
El radio espectral es una especie de mínimo de todas las normas de una matriz. De hecho, por un lado,para cada norma de matriz natural ; y por otro lado, la fórmula de Gelfand establece que. Ambos resultados se muestran a continuación.
Sin embargo, el radio espectral no necesariamente satisface para vectores arbitrarios . Para ver por qué, deja ser arbitrario y considerar la matriz
- .
El polinomio característico de es , por lo que sus valores propios son y por lo tanto . Sin emabargo,. Como resultado, para cualquier norma,
Como ilustración de la fórmula de Gelfand, tenga en cuenta que como , desde Si es par y Si es impar.
Un caso especial en el que para todos es cuando es una matriz hermitiana yes la norma euclidiana . Esto se debe a que cualquier matriz hermitiana se puede diagonalizar mediante una matriz unitaria y las matrices unitarias conservan la longitud del vector:
Gráficos
El radio espectral de un gráfico finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia .
Esta definición se extiende al caso de gráficos infinitos con grados de vértices acotados (es decir, existe un número real C tal que el grado de cada vértice del gráfico es menor que C ). En este caso, para el gráfico G defina:
Sea γ el operador de adyacencia de G :
El radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado γ .
Límite superior
Límites superiores del radio espectral de una matriz
La siguiente proposición muestra un límite superior simple pero útil para el radio espectral de una matriz:
Proposición. Sea A ∈ C n × n con radio espectral ρ ( A ) y una norma de matriz consistente || ⋅ || . Entonces para cada entero:
Prueba
Let ( v , λ ) ser un vector propio - valor propio par para una matriz A . Por la propiedad sub-multiplicativa de la norma matricial, obtenemos:
y como v ≠ 0 tenemos
y por lo tanto
Límites superiores del radio espectral de un gráfico
Hay muchos límites superiores para el radio espectral de un gráfico en términos de su número n de vértices y su número m de aristas. Por ejemplo, si
dónde es un número entero, entonces [1]
Secuencia de potencia
Teorema
El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la secuencia de potencia de una matriz; es decir, se cumple el siguiente teorema:
- Teorema. Sea A ∈ C n × n con radio espectral ρ ( A ) . Entonces ρ ( A ) <1 si y solo si
- Por otro lado, si ρ ( A )> 1 , . La declaración es válida para cualquier elección de norma matricial en C n × n .
Prueba del teorema
Suponga que el límite en cuestión es cero, mostraremos que ρ ( A ) <1 . Dejar que ( v , λ ) es un vector propio - valor propio par para una . Dado que A k v = λ k v tenemos:
y, dado que por hipótesis v ≠ 0 , debemos tener
lo que implica | λ | <1. Dado que esto debe ser cierto para cualquier valor propio λ, podemos concluir que ρ ( A ) <1.
Ahora suponga que el radio de A es menor que 1 . A partir del teorema de la forma normal de Jordan , sabemos que para todo A ∈ C n × n , existen V , J ∈ C n × n con V no singular y J diagonal de bloque tal que:
con
dónde
Es fácil ver eso
y, dado que J es diagonal en bloque,
Ahora, un resultado estándar en la potencia k de un Jordan Block afirma que, para :
Por tanto, si entonces para todo yo . Por lo tanto para todos i tenemos:
lo que implica
Por lo tanto,
Por otro lado, si , hay al menos un elemento en J que no permanece acotado a medida que k aumenta, lo que demuestra la segunda parte de la declaración.
Fórmula de Gelfand
Teorema
El siguiente teorema da el radio espectral como límite de las normas matriciales.
- Teorema (fórmula de Gelfand; 1941). Para cualquier norma matricial || ⋅ ||, tenemos
- . [2]
Prueba
Para cualquier ε > 0 , primero construimos las siguientes dos matrices:
Luego:
Primero aplicamos el teorema anterior a A + :
Eso significa que, según la definición del límite de secuencia, existe N + ∈ N tal que para todo k ≥ N + ,
entonces
Aplicar el teorema anterior a A - implicano está acotado y existe N - ∈ N tal que para todo k ≥ N - ,
entonces
Sea N = max { N + , N - }, entonces tenemos:
que, por definición, es
Corolarios Gelfand
La fórmula de Gelfand conduce directamente a un límite en el radio espectral de un producto de un número finito de matrices, es decir, suponiendo que todas conmutan obtenemos
En realidad, en caso de que la norma sea consistente , la prueba muestra más que la tesis; de hecho, usando el lema anterior, podemos reemplazar en la definición del límite el límite inferior izquierdo con el radio espectral mismo y escribir con mayor precisión:
que, por definición, es
donde el + significa que el límite se aproxima desde arriba.
Ejemplo
Considere la matriz
cuyos valores propios son 5, 10, 10 ; por definición, ρ ( A ) = 10 . En la siguiente tabla, los valores de para las cuatro normas más utilizadas se enumeran frente a varios valores crecientes de k (tenga en cuenta que, debido a la forma particular de esta matriz,):
k | |||
---|---|---|---|
1 | 14 | 15.362291496 | 10.681145748 |
2 | 12.649110641 | 12.328294348 | 10.595665162 |
3 | 11,934831919 | 11.532450664 | 10.500980846 |
4 | 11.501633169 | 11.151002986 | 10.418165779 |
5 | 11.216043151 | 10,921242235 | 10.351918183 |
10 | 10.604944422 | 10.455910430 | 10.183690042 |
11 | 10.548677680 | 10.413702213 | 10.166990229 |
12 | 10.501921835 | 10.378620930 | 10.153031596 |
20 | 10.298254399 | 10.225504447 | 10.091577411 |
30 | 10.197860892 | 10.149776921 | 10.060958900 |
40 | 10.148031640 | 10.112123681 | 10.045684426 |
50 | 10.118251035 | 10.089598820 | 10.036530875 |
100 | 10.058951752 | 10.044699508 | 10.018248786 |
200 | 10.029432562 | 10.022324834 | 10.009120234 |
300 | 10.019612095 | 10.014877690 | 10.006079232 |
400 | 10.014705469 | 10.011156194 | 10.004559078 |
1000 | 10.005879594 | 10.004460985 | 10.001823382 |
2000 | 10.002939365 | 10.002230244 | 10.000911649 |
3000 | 10.001959481 | 10.001486774 | 10.000607757 |
10000 | 10.000587804 | 10.000446009 | 10.000182323 |
20000 | 10.000293898 | 10.000223002 | 10.000091161 |
30000 | 10.000195931 | 10.000148667 | 10.000060774 |
100000 | 10.000058779 | 10.000044600 | 10.000018232 |
Operadores lineales acotados
Para un operador lineal acotado A y la norma del operador || · ||, nuevamente tenemos
Un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico . Un ejemplo de tal operador es un operador normal .
notas y referencias
- ^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "Límites superiores agudos del radio espectral de un gráfico". Matemáticas discretas . 342 (9): 2559-2563. doi : 10.1016 / j.disc.2019.05.017 .
- ^ La fórmula es válida para cualquier álgebra de Banach ; ver Lema IX.1.8 en Dunford & Schwartz 1963 y Lax 2002 , págs. 195-197
Bibliografía
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Operadores lineales II. Teoría espectral: operadores autoadjuntos en Hilbert Space , Interscience Publishers, Inc.
- Lax, Peter D. (2002), Análisis funcional , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1
Ver también
- Brecha espectral
- El radio espectral conjunto es una generalización del radio espectral a conjuntos de matrices.
- Espectro de una matriz
- Abscisa espectral