En álgebra abstracta , la suma directa es una construcción que combina varios módulos en un módulo nuevo y más grande. La suma directa de módulos es el módulo más pequeño que contiene los módulos dados como submódulos sin restricciones "innecesarias", lo que lo convierte en un ejemplo de un coproducto . Contraste con el producto directo , que es la noción dual .
Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales (módulos sobre un campo ) y grupos abelianos (módulos sobre el anillo Z de números enteros ). La construcción también puede extenderse para cubrir los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .
Primero damos la construcción en estos dos casos, bajo el supuesto de que solo tenemos dos objetos. Luego generalizamos a una familia arbitraria de módulos arbitrarios. Los elementos clave de la construcción general se identifican más claramente al considerar estos dos casos en profundidad.
Supongamos que V y W son espacios vectoriales sobre el campo K . Al producto cartesiano V × W se le puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre K ( Halmos 1974 , §18) definiendo las operaciones por componentes:
El espacio vectorial resultante se llama suma directa de V y W y generalmente se denota con un símbolo más dentro de un círculo:
Se acostumbra escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( v , w ), sino como una suma v + w .