En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un espacio de Banach (pronunciado[ˈBanax] ) es un espacio vectorial normalizado completo . Así, un espacio de Banach es un espacio vectorial con una métrica que permite el cálculo de la longitud del vector y la distancia entre vectores y es completo en el sentido de que una secuencia de vectores de Cauchy siempre converge a un límite bien definidoque está dentro del espacio.
Los espacios de Banach llevan el nombre del matemático polaco Stefan Banach , quien introdujo este concepto y lo estudió sistemáticamente en 1920-1922 junto con Hans Hahn y Eduard Helly . [1] Maurice René Fréchet fue el primero en utilizar el término "espacio de Banach" y Banach a su vez acuñó el término " espacio de Fréchet ". [2] Los espacios de Banach surgieron originalmente del estudio de los espacios funcionales realizado por Hilbert , Fréchet y Riesz a principios de siglo. Los espacios de Banach juegan un papel central en el análisis funcional. En otras áreas de análisis, los espacios en estudio suelen ser espacios de Banach.
Definición
Un espacio Banach es un espacio normado completo Un espacio normado es un par [nota 1] que consta de un espacio vectorial sobre un campo escalar K (donde K es o ) junto con una norma distinguida [nota 2] Como todas las normas, esta norma induce una función de distancia invariante en la traducción [nota 3] , llamada métrica canónica o inducida ( norma ) , definida por [nota 4]
para todos los vectores Esto hace en un espacio métrico Una secuencia se llama -Cauchy o Cauchy en [nota 5] o-Cauchy si y solo si para cada real existe algún índice tal que
cuando sea y son mayores que La métrica canónica se llama métrica completa si el pares un espacio métrico completo , que por definición significa para cada- Secuencia de Cauchy en existe algo tal que
donde porque la convergencia de esta secuencia se puede expresar de manera equivalente como:
- en
Por definición, el espacio normado es un espacio de Banach si y solo sies un espacio métrico completo , o dicho de otra manera, si y solo si la métrica canónicaes una métrica completa . La norma de un espacio normado se llama un norma completa si y solo si es un espacio de Banach.
- Producto semi-interno en L
Para cualquier espacio normado existe un producto L-semi-interno ("L" es para Günter Lumer ) en tal que para todos ; en general, puede haber una infinidad de productos L-semi-internos que satisfacen esta condición. Los productos L-semi-inner son una generalización de los productos internos , que son los que distinguen fundamentalmente los espacios de Hilbert de todos los demás espacios de Banach. Esto muestra que todos los espacios normativos (y por tanto todos los espacios de Banach) pueden considerarse como generalizaciones de los espacios (pre) de Hilbert.
- Topología
La métrica canónica de un espacio normado induce la topología métrica habitual en donde esta topología , que se conoce como la topología canónica o inducida por la norma , haceen un espacio topológico metrizable de Hausdorff . Se asume automáticamente que cada espacio normado lleva esta topología, a menos que se indique lo contrario. Con esta topología, todo espacio de Banach es un espacio de Baire , aunque hay espacios normativos que son de Baire pero no de Banach. [3] Esta topología inducida por normas siempre convierte la norma en un mapa continuo
Esta topología inducida por normas también hace en lo que se conoce como un espacio vectorial topológico (TVS), [nota 6] que por definición es un espacio vectorial dotado de una topología que hace continuas las operaciones de suma y multiplicación escalar. Se enfatiza que los TVSes solo un espacio vectorial junto con un cierto tipo de topología; es decir, cuando se considera como un TVS, se no se asocia con ninguna norma en particular o métrica (ambos de los cuales son " olvidado ").
Lo completo
- Normas completas y normas equivalentes
Dos normas en un espacio vectorial se denominan equivalentes si y solo si inducen la misma topología. [4] Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial luego es un espacio de Banach si y solo si es un espacio de Banach. Consulte esta nota a pie de página para ver un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. [nota 7] [4] Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. [5]
- Normas completas vs métricas completas
Una métrica en un espacio vectorial es inducida por una norma sobre si y solo si es la traducción invariante [nota 3] y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todo en cuyo caso la función define una norma sobre y la métrica canónica inducida por es igual a
Suponer que es un espacio normado y que es la topología norma inducida en Suponer que es alguna métrica en tal que la topología que induce en es igual a Si es invariante en la traducción [nota 3] entonces es un espacio de Banach si y solo si es un espacio métrico completo. [6] Sino es invariante en la traducción, entonces es posible que ser un espacio de Banach pero que no sea un espacio métrico completo [7] (consulte esta nota al pie [nota 8] para ver un ejemplo). En contraste, un teorema de Klee, [8] [9] [nota 9] que también se aplica a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables , implica que si existe alguna [nota 10] métrica completa en que induce la topología normal en luego es un espacio de Banach.
- Normas completas frente a espacios vectoriales topológicos completos
Hay otra noción de completitud además de completitud métrica y esa es la noción de un espacio vectorial topológico completo (TVS) o TVS-completitud, que utiliza la teoría de espacios uniformes . Específicamente, la noción de completitud de TVS utiliza una uniformidad invariante de traducción única , llamada uniformidad canónica , que depende solo de la resta de vectores y la topología que el espacio vectorial está dotado, y por tanto, en particular, esta noción de completitud TVS es independiente de cualquier norma inducida por la topología (e incluso se aplica a televisores que ni siquiera son metrizables). Cada espacio de Banach es un televisor completo. Además, un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por normas es completa) si y solo si está completo como un espacio vectorial topológico. Sies un espacio vectorial topológico metrizable (donde tenga en cuenta que cada topología inducida por norma es metrizable), entonceses un TVS completo si y solo si es un TVS secuencialmente completo, lo que significa que es suficiente verificar que cada secuencia de Cauchy en converge en hasta algún punto de (es decir, no es necesario considerar la noción más general de redes arbitrarias de Cauchy ).
Si es un espacio vectorial topológico cuya topología es inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) , entonces es un espacio vectorial topológico completo si y solo si se le puede asignar una norma que induce a la topología y tambien hace en un espacio de Banach. Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es normable si y solo si su fuerte espacio dual es normal, [10] en cuyo caso es un espacio de Banachdenota el fuerte espacio dual decuya topología es una generalización de la topología inducida por norma dual en el espacio dual continuo ; consulte esta nota a pie de página [nota 11] para obtener más detalles). Sies un TVS localmente convexo metrizable , entonces es normable si y solo si es un espacio de Fréchet-Urysohn . [11] Esto muestra que en la categoría de TVS localmente convexos , los espacios de Banach son exactamente aquellos espacios completos que son metrizables y tienen espacios duales fuertes metrizables .
- Caracterización en términos de series
La estructura del espacio vectorial permite relacionar el comportamiento de las secuencias de Cauchy con el de las series convergentes de vectores . Un espacio normadoes un espacio de Banach si y solo si cada serie absolutamente convergente en converge en [12]
Terminaciones
Cada espacio normado se puede incrustar isométricamente en un subespacio vectorial denso de algún espacio de Banach, donde este espacio de Banach se denomina una terminación del espacio normado. Esta terminación de Hausdorff es única hasta el isomorfismo isométrico .
Más precisamente, para cada espacio normado existe un espacio Banach y un mapeo tal que es un mapeo isométrico y es denso en Si es otro espacio de Banach tal que hay un isomorfismo isométrico de en un subconjunto denso de luego es isométricamente isomorfo a Este espacio de Banach es la finalización del espacio normado El espacio métrico subyacente para es lo mismo que la finalización métrica de con las operaciones espaciales vectoriales extendidas desde a La finalización de a menudo se denota por
Teoría general
Operadores lineales, isomorfismos
Si X e Y son espacios normativos sobre el mismo campo terrestre K , el conjunto de todos los mapas lineales K continuos se denota por B ( X , Y ) . En espacios de dimensión infinita, no todos los mapas lineales son continuos. Un mapeo lineal de un espacio normado X a otro espacio normado es continua si y sólo si está delimitada en el cerrado bola unidad de X . Por tanto, al espacio vectorial B ( X , Y ) se le puede dar la norma del operador
Para Y un espacio de Banach, el espacio B ( X , Y ) es un espacio de Banach con respecto a esta norma.
Si X es un espacio de Banach, el espacioforma un álgebra de Banach unital ; la operación de multiplicación viene dada por la composición de mapas lineales.
Si X e Y son espacios normativos, son espacios normativos isomorfos si existe una biyección linealtal que T y su inverso T −1 son continuos. Si uno de los dos espacios X o Y es completo (o reflexivo , separable , etc.), entonces también lo es el otro espacio. Dos espacios normativos X e Y son isométricamente isomorfos si, además, T es una isometría , es decir,para cada x en X . La distancia de Banach a Mazur entre dos espacios X e Y isomórficos pero no isométricos da una medida de cuánto difieren los dos espacios X e Y.
Nociones basicas
El producto cartesiano de dos espacios normativos no está canónicamente equipado con una norma. Sin embargo, se utilizan comúnmente varias normas equivalentes, [13] como
y dan lugar a espacios normativos isomorfos. En este sentido, el producto (o la suma directa ) está completo si y solo si los dos factores están completos.
Si M es un cerrado subespacio lineal de un espacio normado X , existe una norma natural sobre el espacio cociente
El cociente es un espacio de Banach cuando X está completo. [14] El mapa del cociente de X aenviando x en X a su clase x + M , es lineal, sobre y tiene norma 1 , excepto cuando en cuyo caso el cociente es el espacio nulo.
El subespacio lineal cerrado M de X se dice que es un subespacio complementado de X si M es el rango de un delimitada lineal de proyección P de X en M . En este caso, el espacio X es isomorfo a la suma directa de M y Ker ( P ) , el núcleo de la proyección P .
Suponga que X e Y son espacios de Banach y queExiste una factorización canónica de T como [14]
donde el primer mapa es el mapa cociente, y el segundo mapa T 1 envía cada clase x + Ker ( T ) en el cociente a la imagen T ( x ) en Y . Esto está bien definido porque todos los elementos de la misma clase tienen la misma imagen. El mapeo T 1 es una biyección lineal de X / Ker ( T ) al rango T ( X ) , cuya inversa no necesita estar acotada.
Espacios clasicos
Los ejemplos básicos [15] de espacios de Banach incluyen: los espacios L p y sus casos especiales, los espacios de secuencia que constan de secuencias escalares indexadas por N ; entre ellos, el espaciode secuencias absolutamente sumables y el espaciode secuencias cuadradas sumables; el espacio c 0 de sucesiones que tienden a cero y el espacio} de secuencias acotadas; el espacio C ( K ) de funciones escalares continuas en un espacio compacto de Hausdorff K , equipado con la norma máxima,
De acuerdo con el teorema de Banach-Mazur , cada espacio de Banach es isométricamente isomórfico a un subespacio de C ( K ) . [16] Para cada espacio de Banach separable X , hay un subespacio cerrado M de tal que [17]
Cualquier espacio de Hilbert sirve como ejemplo de un espacio de Banach. Un espacio de Hilbert H en está completo para una norma de la forma
dónde
es el producto interno , lineal en su primer argumento que satisface lo siguiente:
Por ejemplo, el espacio L 2 es un espacio de Hilbert.
Los espacios Hardy , los espacios Sobolev son ejemplos de espacios de Banach que están relacionados con los espacios L p y tienen estructura adicional. Son importantes en diferentes ramas del análisis, análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales entre otras.
Álgebras de Banach
Un álgebra de Banach es un espacio de Banach A sobre K = R o C , junto con una estructura de álgebra sobre K , tal que el mapa del productoes continuo. Se puede encontrar una norma equivalente en A de modo que para todos
Ejemplos de
- El espacio de Banach C ( K ) , con el producto puntual, es un álgebra de Banach.
- El álgebra de disco A ( D ) consta de funciones holomorfas en el disco unidad abierta D ⊂ C y continuas en su cierre : D . Equipado con la norma máxima en D , el álgebra de disco A ( D ) es una subálgebra cerrada de C ( D ) .
- El álgebra de Wiener A ( T ) es el álgebra de funciones en el círculo unitario T con series de Fourier absolutamente convergentes. A través del mapa que asocia una función en T a la secuencia de sus coeficientes de Fourier, este álgebra es isomórfica al álgebra de Banachdonde el producto es la convolución de secuencias.
- Para cada espacio de Banach X , el espacio B ( X ) de los operadores lineales acotados en X , con la composición de mapas como producto, es un álgebra de Banach.
- Un álgebra C * es un álgebra A de Banach compleja con una involución antilineal tal que El espacio B ( H ) de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert H es un ejemplo fundamental de C * -álgebra. El teorema de Gelfand-Naimark establece que cada C * -álgebra es isomórfica isomórfica a una C * -subálgebra de algún B ( H ) . El espacio C ( K ) de funciones continuas complejas en un espacio compacto de Hausdorff K es un ejemplo de álgebra C * conmutativa, donde la involución se asocia a cada funciónsu conjugado complejo f .
Espacio dual
Si X es un espacio normado y K el campo subyacente (ya sea el real o los números complejos ), el espacio dual continuo es el espacio de mapas lineales continuos de X a K , o funcionales lineales continuos . La notación para el dual continuo es X ′ = B ( X , K ) en este artículo. [18] Desde K es un espacio de Banach (utilizando el valor absoluto como norma), la doble X ' es un espacio de Banach, por cada espacio normado X .
La principal herramienta para probar la existencia de funcionales lineales continuos es el teorema de Hahn-Banach .
- Teorema de Hahn-Banach. Sea X un espacio vectorial sobre el campo Vamos más lejos
- ser un subespacio lineal ,
- } ser una función sublineal y
- ser un funcional lineal para quepara todos y en Y .
- Entonces, existe un funcional lineal } así que eso
En particular, cada funcional lineal continuo en un subespacio de un espacio normado puede extenderse continuamente a todo el espacio, sin aumentar la norma de lo funcional. [19] Un caso especial importante es el siguiente: para cada vector x en un espacio normado X , existe un funcional lineal continuoen X tal que
Cuando x no es igual al vector 0 , el funcionaldebe tener la norma uno, y se denomina funcional de norma para x .
El teorema de separación de Hahn-Banach establece que dos conjuntos convexos no vacíos disjuntos en un espacio de Banach real, uno de ellos abierto, pueden estar separados por un hiperplano afín cerrado . El conjunto convexo abierto se encuentra estrictamente en un lado del hiperplano, el segundo conjunto convexo se encuentra en el otro lado pero puede tocar el hiperplano. [20]
Un subconjunto S en un espacio de Banach X es total de si la envolvente lineal de S es denso en X . El subconjunto S es total en X si y solo si el único funcional lineal continuo que desaparece en S es el funcional 0 : esta equivalencia se sigue del teorema de Hahn-Banach.
Si X es la suma directa de dos cerrado lineal subespacios M y N , entonces el dual X ' de X es isomorfo a la suma directa de los duales de M y N . [21] Si M es un subespacio lineal cerrado en X , se puede asociar la ortogonal de M en el dual,
El ortogonal M ⊥ es un subespacio lineal cerrado del dual. El dual de M es isométricamente isomorfo a X ′ / M ⊥ . El dual dees isométricamente isomorfo a M ⊥ . [22]
El dual de un espacio de Banach separable no necesita ser separable, pero:
- Teorema. [23] Sea X un espacio normado. Si X ′ es separable , entonces X es separable.
Cuando X ' es separable, el criterio anterior de totalidad se puede utilizar para probar la existencia de un subconjunto total de contable en X .
Topologías débiles
La topología débil en un espacio de Banach X es la topología más burda en X para la cual todos los elementos x ′ en el espacio dual continuo X ′ son continuos. Por tanto, la topología normal es más fina que la topología débil. Se deduce del teorema de separación de Hahn-Banach que la topología débil es Hausdorff , y que un subconjunto convexo de norma cerrada de un espacio de Banach también está débilmente cerrado. [24] Un mapa lineal norma-continua entre dos espacios de Banach X y Y también es débilmente continua , es decir, continua desde la topología débil de X a la de Y . [25]
Si X es de dimensión infinita, existen mapas lineales que no son continuos. El espacio X ∗ de todos los mapas lineales desde X hasta el campo subyacente K (este espacio X ∗ se llama espacio dual algebraico , para distinguirlo de X ′ ) también induce una topología en X que es más fina que la topología débil, y mucho menos utilizado en análisis funcional.
En un espacio dual X ′ , hay una topología más débil que la topología débil de X ′ , denominada topología débil * . Es la topología más burda en X ′ para la cual todos los mapas de evaluación x ′ ∈ X ′ → x ′ ( x ), x ∈ X , son continuos. Su importancia proviene del teorema de Banach-Alaoglu .
- Teorema de Banach-Alaoglu. Sea X un espacio vectorial normalizado . Entonces la bola de la unidad cerradadel espacio dual es compacto en la topología débil *.
El teorema de Banach-Alaoglu depende del teorema de Tychonoff sobre productos infinitos de espacios compactos. Cuando X es separable, la bola unitaria B ' del dual es un compacto metrizable en la topología débil *. [26]
Ejemplos de espacios duales
El dual de c 0 es isométricamente isomorfo a: para cada funcional lineal acotada f en c 0 , hay un elemento único tal que
El dual de es isométricamente isomorfo a }. El dual de L p ([0, 1]) es isométricamente isomorfo a L q ([0, 1]) cuando 1 ≤ p <∞ y 1/pag + 1/q= 1 .
Para cada vector y en un espacio de Hilbert H , el mapeo
define un funcional lineal continua f y en H . Los Riesz teorema de representación de estados que cada continua funcional lineal en H es de la forma f y para un vector definido de forma única y en H . El mapeo es una biyección isométrica antilineal de H sobre su doble H ′ . Cuando los escalares son reales, este mapa es un isomorfismo isométrico.
Cuando K es un espacio topológico compacto de Hausdorff, el dual M ( K ) de C ( K ) es el espacio de medidas de radón en el sentido de Bourbaki. [27] El subconjunto P ( K ) de M ( K ) que consta de medidas no negativas de masa 1 ( medidas de probabilidad ) es un subconjunto convexo w * cerrado de la bola unitaria de M ( K ) . Los puntos extremos de P ( K ) son las medidas de Dirac en K . El conjunto de medidas de Dirac sobre K , equipadas con la w * -topology, es homeomorfo a K .
- Teorema de Banach-Stone. Si K y L son espacios compactos de Hausdorff y si C ( K ) y C ( L ) son isométricamente isomorfos, entonces los espacios topológicos K y L son homeomorfos . [28] [29]
El resultado ha sido ampliado por Amir [30] y Cambern [31] al caso en el que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre C ( K ) y C ( L ) es <2 . El teorema ya no es cierto cuando la distancia es = 2 . [32]
En el álgebra conmutativa de Banach C ( K ) , los ideales máximos son precisamente núcleos de las medidas de Dirac en K ,
De manera más general, según el teorema de Gelfand-Mazur , los ideales máximos de un álgebra de Banach conmutativa unital pueden identificarse con sus caracteres, no simplemente como conjuntos, sino como espacios topológicos: el primero con la topología del núcleo del casco y el segundo con la w * -topología. En esta identificación, el espacio ideal máximo puede verse como un subconjunto compacto de aw * de la bola unitaria en el A ′ dual .
- Teorema. Si K es un espacio compacto Hausdorff, entonces el máximo espacio ideal Ξ de la álgebra de Banach C ( K ) es homeomorfo a K . [28]
No todos los unital conmutativa Banach álgebra es de la forma C ( K ) para algunos compacto Hausdorff espacio K . Sin embargo, esta afirmación es válida si se coloca a C ( K ) en la categoría más pequeña de álgebras C * conmutativas . De Gelfand teorema de representación para C conmutativa * -álgebras estados que cada conmutativa unital C * álgebra A es isomorfo a un isométricamente C ( K ) de espacio. [33] El espacio compacto de Hausdorff K aquí es nuevamente el espacio ideal máximo, también llamado espectro de A en el contexto de C * -álgebra.
Bidual
Si X es un espacio normado, la (continua) dual X '' de la doble X ' se llama bidual , o segunda dual de X . Para cada espacio normado X , hay un mapa natural,
Esto define F X ( x ) como un funcional lineal continuo en X ′ , es decir, un elemento de X ′ ′ . El mapaes un mapa lineal de X a X ′ ′ . Como consecuencia de la existencia de una norma funcional por cada x en X , este mapaes isométrica, por lo tanto inyectiva .
Por ejemplo, el dual de X = c 0 se identifica con y el dual de se identifica con }, el espacio de secuencias escalares acotadas. Bajo estas identificaciones,es el mapa de inclusión de c 0 a}. De hecho, es isométrico, pero no sobre.
Si es sobreyectiva , entonces el espacio normado X se llama reflexivo (ver más abajo ). Siendo el dual de un espacio normado, la X ′ ′ bidual es completa, por lo tanto, todo espacio normado reflexivo es un espacio de Banach.
Usando la incrustación isométrica se acostumbra considerar un espacio normado X como un subconjunto de su bidual. Cuando X es un espacio de Banach, se ve como un subespacio lineal cerrado de X ′ ′ . Si X no es reflexivo, la bola unitaria de X es un subconjunto propio de la bola unitaria de X ′ ′ . El teorema de Goldstine establece que la bola unitaria de un espacio normado es débilmente * -densa en la bola unitaria del bidual. En otras palabras, por cada x ′ ′ en el bidual, existe una red en X para que
La red puede ser reemplazada por una secuencia débilmente convergente * cuando el doble X ′ es separable. Por otro lado, elementos del bidual de que no estan en no puede ser débil * -límite de secuencias en desde está débilmente secuencialmente completo .
Teoremas de Banach
A continuación se muestran los principales resultados generales sobre los espacios de Banach que se remontan a la época del libro de Banach (Banach (1932) ) y están relacionados con el teorema de la categoría de Baire . Según este teorema, un espacio métrico completo (como un espacio de Banach, un espacio de Fréchet o un espacio F ) no puede ser igual a una unión de innumerables subconjuntos cerrados con interiores vacíos . Por tanto, un espacio de Banach no puede ser la unión de innumerables subespacios cerrados, a menos que ya sea igual a uno de ellos; un espacio de Banach con una base contable de Hamel es de dimensión finita.
- Teorema de Banach-Steinhaus. Sea X un espacio de Banach e Y un espacio vectorial normalizado . Supongamos que F es un conjunto de operadores lineales continuas de X a Y . El principio de acotación uniforme establece que si para todo x en X tenemos luego
El teorema de Banach-Steinhaus no se limita a los espacios de Banach. Se puede extender, por ejemplo, al caso donde X es un espacio de Fréchet , siempre que la conclusión se modifique de la siguiente manera: bajo la misma hipótesis, existe una vecindad U de 0 en X tal que todos T en F están uniformemente acotados en U ,
- El teorema del mapeo abierto. Sean X e Y espacios de Banach y ser un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces T es un mapa abierto.
- Corolario. Cada operador lineal acotado uno a uno desde un espacio de Banach a un espacio de Banach es un isomorfismo.
- El primer teorema del isomorfismo para espacios de Banach. Suponga que X e Y son espacios de Banach y que Supongamos, además, que el rango de T es cerrado en Y . Luego es isomorfo a
Este resultado es una consecuencia directa del teorema del isomorfismo de Banach anterior y de la factorización canónica de mapas lineales acotados.
- Corolario. Si un espacio de Banach X es la suma directa interna de subespacios cerrados entonces X es isomorfo a
Esta es otra consecuencia del teorema del isomorfismo de Banach, aplicado a la biyección continua de en X enviando a la suma
- El teorema del gráfico cerrado. Dejar ser un mapeo lineal entre espacios de Banach. La gráfica de T se cierra en si y solo si T es continuo.
Reflexividad
El espacio normado X se llama reflexivo cuando el mapa natural
es sobreyectiva. Los espacios reflexivos normativos son espacios de Banach.
- Teorema. Si X es un espacio de Banach reflexivo, todo subespacio cerrado de X y todo espacio de cociente de X son reflexivos.
Ésta es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach. Además, según el teorema de mapeo abierto, si hay un operador lineal acotado desde el espacio de Banach X al espacio de Banach Y , entonces Y es reflexivo.
- Teorema. Si X es un espacio de Banach, entonces X es reflexivo si y solo si X ′ es reflexivo.
- Corolario. Sea X un espacio reflexivo de Banach. Entonces X es separable si y solo si X ′ es separable.
De hecho, si el Y ′ dual de un espacio de Banach Y es separable, entonces Y es separable. Si X es reflexivo y separable, entonces el dual de X ′ es separable, entonces X ′ es separable.
- Teorema. Supongamos que X 1 , ..., X n son espacios normativos y que X = X 1 ⊕ ... ⊕ X n . Entonces X es reflexivo si y solo si cada X j es reflexivo.
Los espacios de Hilbert son reflexivos. Los espacios L p son reflexivos cuandoDe manera más general, los espacios uniformemente convexos son reflexivos, según el teorema de Milman-Pettis . Los espaciosno son reflexivos. En estos ejemplos de espacios no reflexiva X , la bidual X '' es "mucho más grande" que X . Es decir, bajo la incrustación isométrica natural de X en X ′ ′ dada por el teorema de Hahn-Banach, el cociente X ′ ′ / X es de dimensión infinita, e incluso no separable. Sin embargo, Robert C. James ha construido un ejemplo [34] de un espacio no reflexivo, generalmente llamado " el espacio de James " y denotado por J , [35] tal que el cociente J ′ ′ / J es unidimensional. Además, este espacio J es isométricamente isomorfo a su bidual.
- Teorema. Un espacio de Banach X es reflexivo si y solo si su unidad de bola es compacta en la topología débil .
Cuando X es reflexivo, se deduce que todos los subconjuntos convexos cerrados y acotados de X son débilmente compactos. En un espacio de Hilbert H , la compacidad débil de la bola unitaria se usa muy a menudo de la siguiente manera: cada secuencia acotada en H tiene subsecuencias débilmente convergentes.
La débil compacidad de la bola unitaria proporciona una herramienta para encontrar soluciones en espacios reflexivos a ciertos problemas de optimización . Por ejemplo, cada convexa función continua en la bola unidad B de un espacio reflexivo alcanza su mínimo en algún momento de B .
Como caso especial del resultado anterior, cuando X es un espacio reflexivo sobre R , todo funcional lineal continuoen X ′ alcanza su máximoen la bola unidad de X . El siguiente teorema de Robert C. James proporciona un enunciado inverso.
- Teorema de James. Para un espacio de Banach, las siguientes dos propiedades son equivalentes:
- X es reflexivo.
- para todos en X ′ existe x en X con así que eso
El teorema se puede ampliar para dar una caracterización de conjuntos convexos débilmente compactos.
En cada espacio de Banach no reflexivo X , existen funcionales lineales continuos que no alcanzan la norma . Sin embargo, el Obispo - Phelps teorema [36] afirma que los funcionales de normas alcanzar son densos norma en la doble X ' de X .
Débiles convergencias de secuencias
Una secuencia { x n } en un espacio de Banach X es débilmente convergente a un vectorsi f ( x n ) converge a para cada funcional lineal continuo en el dual X ′ . La secuencia { x n } es una secuencia de Cauchy débil si f ( x n ) converge a un límite escalar L ( f ) , para cada en X ′ . Una secuencia { f n } en el X ′ dual es débilmente * convergente a una f ∈ X ′ funcional si converge a para cada x en X . Las secuencias débilmente de Cauchy, las secuencias débilmente convergentes y débilmente * convergentes están limitadas por normas, como consecuencia del teorema de Banach-Steinhaus .
Cuando la secuencia { x n } en X es una secuencia de Cauchy débil, el límite L anterior define un funcional lineal acotado en el dual X ′ , es decir, un elemento L del bidual de X , y L es el límite de { x n } en la topología débil * del bidual. El espacio de Banach X es débilmente secuencialmente completa si cada secuencia de Cauchy es convergente débilmente débilmente en X . De la discusión anterior se desprende que los espacios reflexivos son débilmente secuencialmente completos.
- Teorema. [37] Para cada medida μ , el espacio L 1 ( μ ) es débilmente secuencialmente completo.
Una secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert es un ejemplo simple de una secuencia débilmente convergente, con límite igual al vector 0 . La base del vector unitario de por o de c 0 , es otro ejemplo de una secuencia débilmente nula , es decir, una secuencia que converge débilmente a 0 . Para cada secuencia débilmente nula en un espacio de Banach, existe una secuencia de combinaciones convexas de vectores de la secuencia dada que converge en normas a 0 . [38]
La base del vector unitario de no es débilmente Cauchy. Secuencias débilmente de Cauchy enson débilmente convergentes, ya que los espacios L 1 son débilmente secuencialmente completos. En realidad, las secuencias débilmente convergentes enson normativas convergentes. [39] Esto significa quesatisface la propiedad de Schur .
Resultados que involucran el base
Débilmente las secuencias de Cauchy y la La base son los casos opuestos de la dicotomía establecida en el siguiente resultado profundo de H. P. Rosenthal. [40]
- Teorema. [41] Sea { x n } una secuencia acotada en un espacio de Banach. O { x n } tiene una subsecuencia de Cauchy débil, o admite una subsecuencia equivalente a la base del vector unitario estándar de
Un complemento de este resultado se debe a Odell y Rosenthal (1975).
- Teorema. [42] Sea X un espacio de Banach separable. Los siguientes son equivalentes:
- El espacio X no contiene un subespacio cerrado isomorfo a
- Cada elemento de la bidual X '' es la débil -limit * de una secuencia { x n } en X .
Por el teorema de Goldstine, todos los elementos de la bola unidad B '' de X '' es débil * -limit de una red en la bola unidad de X . Cuando X no contienecada elemento de B '' es débil -limit * de una secuencia en la bola unidad de X . [43]
Cuando el espacio de Banach X es separable, la bola unitaria del doble X ′ , equipada con la topología débil *, es un espacio compacto metrizable K , [26] y cada elemento x ′ ′ en el X ′ ′ bidual define un espacio acotado función en K :
Esta función es continua para la topología compacta de K si y solo si x ′ ′ está realmente en X , considerado como un subconjunto de X ′ ′ . Suponga además para el resto del párrafo que X no contienePor el resultado anterior de Odell y Rosenthal, la función x '' es el límite puntual en K de una secuencia { x n } ⊂ X de funciones continuas en K , es por lo tanto una primera función de clase Baire en K . La bola unidad de la bidual es un subconjunto compacto puntual de la primera clase de Baire en K . [44]
Secuencias, compacidad débil y débil *
Cuando X es separable, la bola unitaria del dual es débil * -compacta por Banach-Alaoglu y metrizable para la topología débil *, [26] por lo tanto, cada secuencia acotada en el dual tiene subsecuencias débilmente * convergentes. Esto se aplica a los espacios reflexivos separables, pero es más cierto en este caso, como se indica a continuación.
La topología débil de un espacio de Banach X es metrizable si y solo si X es de dimensión finita. [45] Si el doble X ′ es separable, la topología débil de la bola unitaria de X es metrizable. Esto se aplica en particular a los espacios de Banach reflexivos separables. Aunque la topología débil de la bola unitaria no es metrizable en general, se puede caracterizar la compacidad débil usando secuencias.
- Teorema de Eberlein-Šmulian . [46] Un conjunto A en un espacio de Banach es relativamente débilmente compacto si y solo si cada secuencia { a n } en A tiene una subsecuencia débilmente convergente.
Un espacio de Banach X es reflexivo si y solo si cada secuencia acotada en X tiene una subsecuencia débilmente convergente. [47]
Un subconjunto débilmente compacto A enes norma compacta. De hecho, cada secuencia en A tiene subsecuencias débilmente convergentes de Eberlein-Šmulian, que son convergentes en norma por la propiedad de Schur de
Bases de Schauder
Una base de Schauder en un espacio de Banach X es una secuencia { e n } n ≥ 0 de vectores en X con la propiedad de que para cada vector x en X , existen escalares definidos unívocamente { x n } n ≥ 0 dependiendo de x , tales que
Los espacios de Banach con una base de Schauder son necesariamente separables , porque el conjunto contable de combinaciones lineales finitas con coeficientes racionales (digamos) es denso.
De ello se deduce del teorema de Banach-Steinhaus que las aplicaciones lineales { P n } son uniformemente delimitadas por alguna constante C . Vamos { e∗
n} denota las funciones de coordenadas que asignan a cada x en X la coordenada x n de x en la expansión anterior. Se denominan funcionales biortogonales . Cuando los vectores base tienen norma 1 , las funciones de coordenadas { e∗
n} Tienen norma ≤ 2 C en el doble de X .
La mayoría de los espacios separables clásicos tienen bases explícitas. El sistema de Haar { h n } es una base para L p ([0, 1]), 1 ≤ p <∞ . El sistema trigonométrico es una base en L p ( T ) cuandoEl sistema de Schauder es una base en el espacio C ([0, 1]) . [48] La cuestión de si el álgebra de disco A ( D ) tiene una base [49] permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que A ( D ) admite una base construida a partir del sistema de Franklin . [50]
Dado que todo vector x en un espacio de Banach X con una base es el límite de P n ( x ) , con P n de rango finito y acotado uniformemente, el espacio X satisface la propiedad de aproximación acotada . El primer ejemplo de Enflo de un espacio que fallaba en la propiedad de aproximación fue al mismo tiempo el primer ejemplo de un espacio de Banach separable sin una base de Schauder. [51]
Robert C. James caracterizó la reflexividad en los espacios de Banach con una base: el espacio X con una base de Schauder es reflexivo si y solo si la base es a la vez encogida y delimitadamente completa . [52] En este caso, los funcionales biortogonales forman una base de la doble de X .
Producto tensor
Sean X e Y dos espacios de vectores K. El producto tensorial de X e Y es un espacio de K -vector Z con un mapeo bilinealque tiene la siguiente propiedad universal :
- Si es cualquier mapeo bilineal en un espacio de K -vector Z 1 , entonces existe un mapeo lineal único tal que
La imagen debajo de la T de una pareja. en se denota por y se llama tensor simple . Cada elemento z en es una suma finita de tensores tan simples.
Hay varias normas que pueden colocarse en el producto tensorial de los espacios vectoriales subyacentes, entre otras, la norma cruzada proyectiva y la norma cruzada inyectiva introducida por A. Grothendieck en 1955. [53]
En general, el producto tensorial de espacios completos no vuelve a estar completo. Cuando se trabaja con espacios de Banach, se acostumbra decir que el producto del tensor proyectivo [54] de dos espacios de Banach X e Y es la terminación del producto tensorial algebraico equipado con la norma del tensor proyectivo, y de manera similar para el producto del tensor inyectivo [55] Grothendieck demostró en particular que [56]
donde K es un espacio compacto de Hausdorff, C ( K , Y ) el espacio de Banach de funciones continuas de K a Y y L 1 ([0, 1], Y ) el espacio de funciones de Bochner-medibles e integrables de [0, 1 ] a Y , y donde los isomorfismos son isométricos. Los dos isomorfismos anteriores son las respectivas extensiones del mapa que envía el tensor a la función de valor vectorial
Productos tensoriales y la propiedad de aproximación
Sea X un espacio de Banach. El producto tensorialse identifica isométricamente con el cierre en B ( X ) del conjunto de operadores de rango finito. Cuando X tiene la propiedad de aproximación , este cierre coincide con el espacio de operadores compactos en X .
Para cada espacio de Banach Y , hay un mapa lineal de norma natural 1
obtenido al extender el mapa de identidad del producto tensorial algebraico. Grothendieck relacionado el problema de aproximación a la cuestión de si este mapa es de uno a uno cuando Y es el dual de X . Precisamente, para cada espacio de Banach X , el mapa
es uno a uno si y solo si X tiene la propiedad de aproximación. [57]
Grothendieck conjeturó que y debe ser diferente siempre que X e Y sean espacios de Banach de dimensión infinita. Esto fue refutado por Gilles Pisier en 1983. [58] Pisier construyó un espacio X de Banach de dimensión infinita tal que y son iguales. Además, como en el ejemplo de Enflo , este espacio X es un espacio "hecho a mano" que no tiene la propiedad de aproximación. Por otro lado, Szankowski demostró que el espacio clásicono tiene la propiedad de aproximación. [59]
Algunos resultados de clasificación
Caracterizaciones del espacio de Hilbert entre espacios de Banach
Una condición necesaria y suficiente para que la norma de un espacio de Banach X se asocie a un producto interno es la identidad del paralelogramo :
- para todos
De ello se deduce, por ejemplo, que el espacio de Lebesgue L p ([0, 1]) es un espacio de Hilbert solo cuandoSi se satisface esta identidad, el producto interno asociado viene dado por la identidad de polarización . En el caso de escalares reales, esto da:
Para escalares complejos, definiendo el producto interno de modo que sea C- lineal en x , antilineal en y , la identidad de polarización da:
Para ver que la ley del paralelogramo es suficiente, se observa en el caso real que < x , y > es simétrico, y en el caso complejo, que satisface la propiedad de simetría hermitiana y < ix , y > = i < x , y > . La ley del paralelogramo implica que < x , y > es aditivo en x . De ello se deduce que es lineal sobre los racionales, por lo tanto lineal por continuidad.
Se encuentran disponibles varias caracterizaciones de espacios isomórficos (en lugar de isométricos) a los espacios de Hilbert. La ley del paralelogramo puede extenderse a más de dos vectores y debilitarse por la introducción de una desigualdad bilateral con una constante c ≥ 1 : Kwapień demostró que si
para cada entero n y todas las familias de vectores { x 1 , ..., x n } ⊂ X , entonces el espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert. [60] Aquí, Ave ± denota el promedio sobre las 2 n posibles elecciones de signos ± 1 . En el mismo artículo, Kwapień demostró que la validez de un teorema de Parseval valorado por Banach para la transformada de Fourier caracteriza los espacios de Banach isomorfos a los espacios de Hilbert.
Lindenstrauss y Tzafriri demostraron que un espacio de Banach en el que se complementa cada subespacio lineal cerrado (es decir, es el rango de una proyección lineal acotada) es isomorfo a un espacio de Hilbert. [61] La demostración se basa en el teorema de Dvoretzky sobre las secciones euclidianas de cuerpos convexos centralmente simétricos de alta dimensión. En otras palabras, el teorema de Dvoretzky establece que para cada entero n , cualquier espacio normado de dimensión finita, con una dimensión suficientemente grande en comparación con n , contiene subespacios casi isométricos al espacio euclidiano n- dimensional.
El siguiente resultado da la solución del llamado problema del espacio homogéneo . Se dice que un espacio de Banach de dimensión infinita X es homogéneo si es isomórfico a todos sus subespacios cerrados de dimensión infinita. Un espacio de Banach isomorfo aes homogéneo, y Banach pidió lo contrario. [62]
- Teorema. [63] Un espacio de Banach isomorfo a todos sus subespacios cerrados de dimensión infinita es isomorfo a un espacio de Hilbert separable.
Un espacio de Banach de dimensión infinita es hereditariamente indecomponible cuando ningún subespacio del mismo puede ser isomórfico a la suma directa de dos espacios de Banach de dimensión infinita. El teorema de la dicotomía de Gowers [63] afirma que todo espacio X de Banach de dimensión infinita contiene, ya sea un subespacio Y con base incondicional , o un subespacio Z hereditariamente indecomposible , y en particular, Z no es isomorfo a sus hiperplanos cerrados. [64] Si X es homogéneo, debe tener una base incondicional. De la solución parcial obtenida por Komorowski y Tomczak – Jaegermann , para espacios con una base incondicional, [65] se deduce entonces que X es isomorfo a
Clasificación métrica
Si es una isometría del espacio de Banach en el espacio de Banach (donde ambos y son espacios vectoriales sobre ), entonces el teorema de Mazur-Ulam establece quedebe ser una transformación afín. En particular, si esto es mapea el cero de al cero de luego debe ser lineal. Este resultado implica que la métrica en los espacios de Banach, y más generalmente en los espacios normativos, captura completamente su estructura lineal.
Clasificación topológica
Los espacios de Banach de dimensión finita son homeomorfos como espacios topológicos, si y solo si tienen la misma dimensión que los espacios vectoriales reales.
El teorema de Anderson-Kadec ( 1965-1966 ) demuestra [66] que dos espacios de Banach separables de dimensión infinita cualesquiera son homeomorfos como espacios topológicos. El teorema de Kadec fue extendido por Torunczyk, quien demostró [67] que dos espacios de Banach cualesquiera son homeomórficos si y solo si tienen el mismo carácter de densidad , la cardinalidad mínima de un subconjunto denso.
Espacios de funciones continuas
Cuando dos espacios compactos de Hausdorff K 1 y K 2 son homeomorfos , los espacios de Banach C ( K 1 ) y C ( K 2 ) son isométricos. Por el contrario, cuando K 1 no es homeomorfo a K 2 , la distancia de Banach-Mazur (multiplicativa) entre C ( K 1 ) y C ( K 2 ) debe ser mayor o igual a 2 , ver arriba los resultados de Amir y Cambern . Aunque innumerables espacios métricos compactos pueden tener diferentes tipos de homeomorfia, uno tiene el siguiente resultado debido a Milutin: [68]
- Teorema. [69] Sea K un espacio métrico compacto incontable. Entonces C ( K ) es isomorfo a C ([0, 1]) .
La situación es diferente para los espacios compactos de Hausdorff, infinitos y contables . Todo K compacto numerablemente infinito es homeomórfico a algún intervalo cerrado de números ordinales
equipado con la topología de orden , donde α es un ordinal infinito numerable. [70] El espacio de Banach C ( K ) es entonces isométrico a C (<1, α >) . Cuando α , β son dos ordinales numerables infinitos, y asumiendo α ≤ β , los espacios C (<1, α >) y C (<1, β >) son isomorfos si y solo si β < α ω . [71] Por ejemplo, los espacios de Banach
son mutuamente no isomorfos.
Ejemplos de
Un glosario de símbolos:
- ;
- X es un espacio compacto de Hausdorff ;
- I es un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] ;
- p , q son números reales con 1 < p , q <∞ de modo que 1/pag + 1/q = 1.
- Σ es una σ -álgebra de conjuntos;
- Ξ es un álgebra de conjuntos (para espacios que solo requieren aditividad finita, como el espacio ba );
- μ es una medida con variación | μ | .
Espacios clásicos de Banach | |||||
Espacio dual | Reflexivo | débilmente secuencialmente completo | Norma | Notas | |
---|---|---|---|---|---|
K n | K n | sí | sí | Espacio euclidiano | |
ℓ pag norte {\ Displaystyle \ ell _ {p} ^ {n}} | sí | sí | |||
ℓ ∞ norte {\ Displaystyle \ ell _ {\ infty} ^ {n}} | sí | sí | |||
ℓ pag {\ Displaystyle \ ell ^ {p}} | sí | sí | |||
ℓ 1 {\ Displaystyle \ ell ^ {1}} | No | sí | |||
ℓ ∞ {\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty}} | licenciado en Letras | No | No | ||
C | No | No | |||
c 0 | No | No | Isomorfo pero no isométrico c . | ||
bv | No | sí | Isométricamente isomorfo a | ||
bv 0 | No | sí | Isométricamente isomorfo a | ||
bs | licenciado en Letras | No | No | Isométricamente isomorfo a | |
cs | No | No | Isométricamente isomorfo a c . | ||
B ( X , Ξ) | ba (Ξ) | No | No | ||
C ( X ) | rca ( X ) | No | No | ||
ba (Ξ) | ? | No | sí | ||
ca (Σ) | ? | No | sí | Un subespacio cerrado de ba (Σ) . | |
rca (Σ) | ? | No | sí | Un subespacio cerrado de ca (Σ) . | |
L p ( μ ) | L q ( μ ) | sí | sí | ||
L 1 ( μ ) | L ∞ ( μ ) | No | sí | El dual es L ∞ ( μ ) si μ es σ -finito . | |
BV ( I ) | ? | No | sí | V f ( I ) es la variación total de | |
NBV ( I ) | ? | No | sí | NBV ( I ) consta de funciones BV ( I ) tales que | |
AC ( I ) | K + L ∞ ( I ) | No | sí | Isomorfo al espacio de Sobolev W 1,1 ( I ) . | |
C n ([ a , b ]) | rca ([ a , b ]) | No | No | Isomorfo a R n ⊕ C ([ a , b ]) , esencialmente por el teorema de Taylor . |
Derivados
Se pueden definir varios conceptos de una derivada en un espacio de Banach. Consulte los artículos sobre el derivado de Fréchet y el derivado de Gateaux para obtener más detalles. La derivada de Fréchet permite una extensión del concepto de derivada total a los espacios de Banach. La derivada Gateaux permite una extensión de una derivada direccional a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux. La cuasi-derivada es otra generalización de la derivada direccional que implica una condición más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, pero una condición más débil que la diferenciabilidad de Fréchet.
Generalizaciones
Varios espacios importantes en el análisis funcional, por ejemplo, el espacio de todas las funciones diferenciables infinitamente a menudo R → R , o el espacio de todas las distribuciones en R , están completos pero no son espacios vectoriales normalizados y por lo tanto no son espacios de Banach. En los espacios de Fréchet uno todavía tiene una métrica completa , mientras que los espacios LF son espacios vectoriales completamente uniformes que surgen como límites de los espacios de Fréchet.
Ver también
- Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura agregada
- Espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
- Espacio resistente
- Espacio de Hilbert : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
- Producto semi-interno en L - Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normativos
- L p space - Espacios funcionales que generalizan espacios p norm de dimensión finita
- Espacio de Sobolev - Espacio de Banach de funciones con norma que combina L p -normas de la función y sus derivadas
- Celosía Banach
- Problema de distorsión
- Espacio de interpolación
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio Smith
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Es común leer " es un espacio normado "en lugar del más técnicamente correcto pero (generalmente) pedante"es un espacio normado, "especialmente si la norma es bien conocida (por ejemplo, con espacios L p ) o cuando no hay una necesidad particular de elegir una norma (equivalente) sobre cualquier otra (especialmente en la teoría más abstracta del vector topológico espacios ), en cuyo caso esta norma (si es necesario) a menudo se asume automáticamente que se denota por Sin embargo, en situaciones en las que se hace hincapié en la norma, es común ver escrito en lugar de La definición técnicamente correcta de los espacios normativos como pares También puede volverse importante en el contexto de la teoría de categorías, donde la distinción entre las categorías de espacios normados, espacios normativos , espacios métricos , TVS , espacios topológicos , etc., suele ser importante.
- ^ Esto significa que si la normase reemplaza por una norma diferente || ⋅ || ' en luego no es el mismo espacio normado queincluso si las normas son equivalentes. Sin embargo, la equivalencia de normas en un espacio vectorial dado forma una relación de equivalencia .
- ^ a b c A métrica en un espacio vectorial se dice que es invariante a la traducción si para todos los vectores Esto sucede si y solo si para todos los vectores Una métrica inducida por una norma siempre es invariante en la traducción.
- ^ Porque para todos siempre es cierto que para todos Entonces el orden de y en esta definición no importa.
- ^ Si una secuencia es Cauchy o no en depende de la métrica y no, digamos, solo en la topología que induce.
- ^ De hecho,es incluso un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo
- ^ Dejedenotar el espacio de Banach de funciones continuas con la norma suprema y dejar denotar la topología en Inducido por Desde se puede incrustar (a través de la inclusión canónica) como un subespacio vectorial de es posible definir la restricción de la norma L 1 a que será denotado por Este mapa es una norma en (en general, la restricción de cualquier norma a cualquier subespacio vectorial será necesariamente nuevamente una norma). Porque el mapa es continuo. Sin embargo, la normano es equivalente a la norma El espacio normado no es un espacio de Banach a pesar de la norma ser -continuo.
- ^ El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma en la línea realque induce la topología euclidiana habitual en Definir una métrica en por para todos Al igual que 'S inducida métrica, la métrica también induce la topología euclidiana habitual en Sin emabargo, no es una métrica completa porque la secuencia definido por es un D {\ Displaystyle D} -Cauchy secuencia pero no converge a cualquier punto de Como consecuencia de no converger, este -La secuencia de Cauchy no puede ser una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una secuencia de Cauchy con respecto a la norma ) porque si fuera -Cauchy, entonces el hecho de quees un espacio de Banach implicaría que converge (una contradicción). Narici y Beckenstein 2011 , págs. 47–51
- ^ El enunciado del teorema es: Seaser cualquier métrica en un espacio vectorialtal que la topología 𝜏 inducida por en hace en un espacio vectorial topológico. Sies un espacio métrico completo, entonceses un espacio vectorial topológico completo .
- ^ Esta métricase no se supone que es invariante por traslación. En particular, esta métricano no siquiera tiene que ser inducida por una norma.
- ^ denota el espacio dual continuo de Cuándo está dotado de la topología de espacio dual fuerte , también llamada topología de convergencia uniforme en subconjuntos delimitados de entonces esto se indica escribiendo (a veces, el subíndice se usa en lugar de ). Cuándo es un espacio normado con norma entonces esta topología es igual a la topología en inducida por la norma dual . De esta manera, la topología fuerte es una generalización de la topología inducida por norma dual habitual en
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enlaces externos
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- Weisstein, Eric W. "Espacio Banach" . MathWorld .