En matemáticas , a menudo se puede definir un producto directo de objetos ya conocidos, dando uno nuevo. Esto generaliza el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes , junto con una estructura adecuadamente definida en el conjunto de productos. De manera más abstracta, se habla del producto en la teoría de categorías , que formaliza estas nociones.
Los ejemplos son el producto de conjuntos, grupos (descritos a continuación), anillos y otras estructuras algebraicas . El producto de los espacios topológicos es otro ejemplo. [ dudoso ]
También existe la suma directa : en algunas áreas esto se usa indistintamente, mientras que en otras es un concepto diferente.
Ejemplos de
- Si pensamos en como el conjunto de números reales, entonces el producto directo es solo el producto cartesiano .
- Si pensamos en como el grupo de números reales bajo la suma, entonces el producto directo todavía tiene como su conjunto subyacente. La diferencia entre este y el ejemplo anterior es queahora es un grupo, por lo que también tenemos que decir cómo agregar sus elementos. Esto se hace definiendo.
- Si pensamos en como el anillo de números reales, luego el producto directo de nuevo tiene como su conjunto subyacente. El anillo de estructura de anillo consta de una adición definida por y multiplicación definida por .
- Sin embargo, si pensamos en como el campo de los números reales, entonces el producto directo no existe: definir ingenuamente la suma y la multiplicación por componentes como en el ejemplo anterior no daría como resultado un campo ya que el elemento no tiene un inverso multiplicativo .
De manera similar, podemos hablar del producto directo de un número finito de estructuras algebraicas, p. Ej. . Esto se basa en el hecho de que el producto directo es asociativo hasta el isomorfismo . Es decir, para cualquier estructura algebraica , , y del mismo tipo. El producto directo también es conmutativo hasta el isomorfismo, es decir para cualquier estructura algebraica y del mismo tipo. Incluso podemos hablar del producto directo de infinitas estructuras algebraicas; por ejemplo podemos tomar el producto directo de numerable muchas copias de, que escribimos como .
Producto directo grupal
En la teoría de grupos se puede definir el producto directo de dos grupos ( G , ∘) y ( H , ∙), denotados por G × H . Para los grupos abelianos que se escriben de forma aditiva, también se puede llamar la suma directa de dos grupos , denotada por.
Se define de la siguiente manera:
- el conjunto de elementos del nuevo grupo es el producto cartesiano de los conjuntos de elementos de G y H , es decir {( g , h ): g ∈ G , h ∈ H };
- en estos elementos coloque una operación, definida por elementos:
- ( g , h ) × ( g ' , h' ) = ( g ∘ g ' , h ∙ h ' )
(Tenga en cuenta que ( G , ∘) puede ser lo mismo que ( H , ∙))
Esta construcción da un nuevo grupo. Tiene un subgrupo normal isomorfo a G (dado por los elementos de la forma ( g , 1)), y uno isomorfo a H (que comprende los elementos (1, h )).
Lo contrario también sostiene, hay el siguiente teorema reconocimiento: Si un grupo K contiene dos subgrupos normales G y H , de modo que K = GH y la intersección de G y H incluye solamente la identidad, entonces K es isomorfo a G × H . Una relajación de estas condiciones, que requiere que solo un subgrupo sea normal, da el producto semidirecto .
Como ejemplo, tome como G y H dos copias del grupo único (hasta isomorfismos) de orden 2, C 2 : digamos {1, a } y {1, b }. Entonces C 2 × C 2 = {(1,1), (1, b ), ( a , 1), ( a , b )}, con la operación elemento por elemento. Por ejemplo, (1, b ) * ( a , 1) = (1 * a , b * 1) = ( a , b ) y (1, b ) * (1, b ) = (1, b 2 ) = (1,1).
Con un producto directo, obtenemos algunos homomorfismos de grupos naturales de forma gratuita: los mapas de proyección se definen por
llamadas funciones de coordenadas .
Además, todo homomorfismo f del producto directo está totalmente determinado por las funciones que lo componen..
Para cualquier grupo ( G , ∘) y cualquier número entero n ≥ 0, la aplicación repetida del producto directo da el grupo de todas las n - tuplas G n (para n = 0 obtenemos el grupo trivial ), por ejemplo Z n y R n .
Producto directo de módulos
El producto directo de los módulos (que no debe confundirse con el producto tensorial ) es muy similar al definido para los grupos arriba, usando el producto cartesiano con la operación de adición por componentes y la multiplicación escalar distribuyéndose entre todos los componentes. A partir de R obtenemos el espacio euclidiano R n , el ejemplo prototípico de un espacio vectorial n- dimensional real . El producto directo de R m y R n es R m + n .
Tenga en cuenta que un producto directo para un índice finito es idéntica a la suma directa . La suma directa y el producto directo difieren solo para índices infinitos, donde los elementos de una suma directa son cero para todos excepto para un número finito de entradas. Son duales en el sentido de la teoría de categorías : la suma directa es el coproducto , mientras que el producto directo es el producto.
Por ejemplo, considere y , el producto directo infinito y la suma directa de los números reales. Sólo secuencias con un número finito de elementos distintos de cero están en Y . Por ejemplo, (1,0,0,0, ...) está en Y pero (1,1,1,1, ...) no lo está. Ambas secuencias están en el producto directo X ; de hecho, Y es un subconjunto propio de X (es decir, Y ⊂ X ). [1] [2]
Producto directo al espacio topológico
El producto directo para una colección de espacios topológicos X i para i en I , algún conjunto de índices, una vez más hace uso del producto cartesiano
Definir la topología es un poco complicado. Para un número finito de factores, esto es lo obvio y natural: simplemente tome como base de conjuntos abiertos la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor:
Esta topología se denomina topología de producto . Por ejemplo, al definir directamente la topología del producto en R 2 por los conjuntos abiertos de R (uniones disjuntas de intervalos abiertos), la base de esta topología consistiría en todas las uniones disjuntas de rectángulos abiertos en el plano (resulta que coincide con la topología métrica habitual ).
La topología del producto para productos infinitos tiene un giro, y esto tiene que ver con poder hacer que todos los mapas de proyección sean continuos y hacer que todas las funciones en el producto sean continuas si y solo si todas sus funciones componentes son continuas (es decir, para satisfacer la definición de producto: los morfismos aquí son funciones continuas): tomamos como base de conjuntos abiertos como la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor, como antes, con la condición de que todos menos un número finito de los subconjuntos abiertos son todo el factor:
La topología que suena más natural sería, en este caso, tomar productos de infinitos subconjuntos abiertos como antes, y esto produce una topología algo interesante, la topología de caja . Sin embargo, no es demasiado difícil encontrar un ejemplo de un grupo de funciones de componentes continuas cuya función de producto no sea continua (consulte la topología del cuadro de entrada separada para ver un ejemplo y más). El problema que hace necesario el giro se basa en última instancia en el hecho de que solo se garantiza que la intersección de conjuntos abiertos esté abierta para un número finito de conjuntos en la definición de topología.
Los productos (con la topología del producto) son agradables con respecto a la conservación de las propiedades de sus factores; por ejemplo, el producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff; el producto de los espacios conectados está conectado y el producto de los espacios compactos es compacto. El último, llamado teorema de Tychonoff , es otra equivalencia más del axioma de elección .
Para obtener más propiedades y formulaciones equivalentes, consulte la topología del producto de entrada separada .
Producto directo de relaciones binarias
En el producto cartesiano de dos conjuntos con relaciones binarias R y S, defina ( a , b ) T ( c , d ) como a R c y b S d . Si R y S son ambos reflexivos , irreflexivos , transitivos , simétricos o antisimétricos , T también lo será. [3] Del mismo modo, la serialidad de T se hereda de R y S . Combinando propiedades se deduce que esto también se aplica por ser un preorden y ser una relación de equivalencia . Sin embargo, si R y S son relaciones conectadas , no es necesario que T esté conectado; por ejemplo, el producto directo de ≤ sobre ℕ consigo mismo no se relaciona (1,2) y (2,1).
Producto directo en álgebra universal
Si Σ es una firma fija , I es un conjunto de índices arbitrario (posiblemente infinito), y ( A i ) i ∈ I es una familia indexada de Σ álgebras, el producto directo A = ∏ i ∈ I A i es un Σ álgebra definida como sigue:
- El conjunto de universos A de A es el producto cartesiano de los conjuntos de universos A i de A i , formalmente: A = ∈ i ∈ I A i ;
- Para cada n y cada símbolo de operación n -aria f ∈ Σ , su interpretación f A en A se define en forma de componentes, formalmente: para todo a 1 , ..., a n ∈ A y cada i ∈ I , el i- ésimo componente de f A ( a 1 , ..., a n ) se define como f A i ( a 1 ( i ), ..., a n ( i )) .
Para cada i ∈ I , la i- ésima proyección π i : A → A i está definida por π i ( a ) = a ( i ) . Es un homomorfismo sobreyectivo entre las Σ álgebras A y A i . [4]
Como caso especial, si el índice establece I = {1, 2}, se obtiene el producto directo de dos Σ álgebras A 1 y A 2 , escrito como A = A 1 × A 2 . Si Σ solo contiene una operación binaria f , se obtiene la definición anterior del producto directo de grupos, usando la notación A 1 = G , A 2 = H , f A 1 = ∘ , f A 2 = ∙ , y f A = × . De manera similar, aquí se incluye la definición del producto directo de los módulos.
Producto categórico
El producto directo se puede resumir en una categoría arbitraria . En una categoría general, dada una colección de objetos A i y una colección de morfismos p i de A a A i [ aclaración necesaria ] con i en algún índice conjunto I , se dice que un objeto A es un producto categórico en la categoría si, para cualquier objeto B y cualquier colección de morfismos f i de B a A i , existe un morfismo único f de B a A tal que f i = p i f y este objeto A es único. Esto no solo funciona para dos factores, sino arbitrariamente (incluso infinitamente) muchos.
Para los grupos, definimos de manera similar el producto directo de una colección arbitraria más general de grupos G i para i en I , I un conjunto de índices. Denotando el producto cartesiano de los grupos por G definimos la multiplicación en G con la operación de multiplicación por componentes; y correspondientes al p i en la definición anterior son los mapas de proyección
- ,
las funciones que toman a su i- ésimo componente g i .
Producto directo interno y externo
Algunos autores hacen una distinción entre un producto directo interno y un producto directo externo. Si y , entonces decimos que X es un producto directo interno de A y B , mientras que si A y B no son subobjetos, entonces decimos que se trata de un producto directo externo .
Ver también
- Suma directa
- producto cartesiano
- Coproducto
- Producto gratis
- Producto semidirecto
- Producto Zappa – Szep
- Producto tensorial de gráficas
- Pedidos sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
Notas
- ^ W., Weisstein, Eric. "Producto directo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de febrero de 2018 .
- ^ W., Weisstein, Eric. "Producto directo de grupo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de febrero de 2018 .
- ^ Equivalencia y orden
- ^ Stanley N. Burris y HP Sankappanavar, 1981. Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Aquí: Def.7.8, p.53 (= p. 67 en archivo pdf)
Referencias
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556