Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
En teoría de números , el teorema de Dirichlet , también llamado el Dirichlet número primo teorema, estados que para dos positivos coprimas enteros una y D , hay un número infinito de números primos de la forma de un + nd , donde n es un entero positivo también. En otras palabras, hay infinitos números primos que son congruentes con un módulo d . Los números de la forma a + nd forman una progresión aritmética
y el teorema de Dirichlet establece que esta secuencia contiene infinitos números primos. El teorema, que lleva el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , amplía el teorema de Euclides de que hay infinitos números primos. Las formas más fuertes del teorema de Dirichlet establecen que para cualquier progresión aritmética, la suma de los recíprocos de los números primos en la progresión diverge y que diferentes progresiones aritméticas con el mismo módulo tienen aproximadamente las mismas proporciones de números primos. De manera equivalente, los números primos se distribuyen uniformemente (asintóticamente) entre las clases de congruencia módulo d que contienen el coprimo de a con d .
La siguiente tabla enumera varias progresiones aritméticas con infinitos números primos y los primeros en cada uno de ellos.
Dado que los números primos se adelgazan, en promedio, de acuerdo con el teorema de los números primos , lo mismo debe ser cierto para los números primos en las progresiones aritméticas. Es natural preguntarse cómo se comparten los números primos entre las diversas progresiones aritméticas para un valor dado de d (hay d de esos, esencialmente, si no distinguimos dos progresiones que comparten casi todos sus términos). La respuesta se da en esta forma: el número de progresiones factibles modulo d - aquellos en los que una y d no tiene un factor común> 1 - viene dada por la función totient de Euler
(todos excepto )
Cuando se comparan entre sí, las progresiones con un resto cuadrático sin residuo tienen típicamente un poco más de elementos que aquellas con un resto cuadrático de residuo ( sesgo de Chebyshev ).