En teoría de números , el teorema de Dirichlet , también llamado el Dirichlet número primo teorema, estados que para dos positivos coprimas enteros una y D , hay un número infinito de números primos de la forma de un + nd , donde n es un entero positivo también. En otras palabras, hay infinitos números primos que son congruentes con un módulo d . Los números de la forma a + nd forman una progresión aritmética
y el teorema de Dirichlet establece que esta secuencia contiene infinitos números primos. El teorema, que lleva el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , amplía el teorema de Euclides de que hay infinitos números primos. Las formas más fuertes del teorema de Dirichlet establecen que para cualquier progresión aritmética, la suma de los recíprocos de los números primos en la progresión diverge y que las diferentes progresiones aritméticas con el mismo módulo tienen aproximadamente las mismas proporciones de números primos. De manera equivalente, los primos se distribuyen uniformemente (asintóticamente) entre las clases de congruencia módulo d que contienen el coprimo de a con d .
Ejemplos de
Un entero es primo para los enteros gaussianos si el cuadrado de su módulo es un número primo (en el sentido normal) o una de sus partes es cero y el valor absoluto de la otra es un primo que es congruente con 3 módulo 4 . Los primos (en el sentido normal) del tipo 4 n + 3 son (secuencia A002145 en la OEIS )
- 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...
Corresponden a los siguientes valores de n : (secuencia A095278 en la OEIS )
- 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...
La forma fuerte del teorema de Dirichlet implica que
es una serie divergente .
La siguiente tabla enumera varias progresiones aritméticas con infinitos números primos y los primeros en cada uno de ellos.
Progresión aritmética | Primeros 10 de infinitos números primos | Secuencia OEIS |
---|---|---|
2 n + 1 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… | A065091 |
4 n + 1 | 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89,… | A002144 |
4 n + 3 | 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67,… | A002145 |
6 n + 1 | 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79,… | A002476 |
6 n + 5 | 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71,… | A007528 |
8 n + 1 | 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241,… | A007519 |
8 n + 3 | 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139,… | A007520 |
8 n + 5 | 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157,… | A007521 |
8 n + 7 | 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167,… | A007522 |
10 n + 1 | 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191,… | A030430 |
10 n + 3 | 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163,… | A030431 |
10 n + 7 | 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157,… | A030432 |
10 n + 9 | 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199,… | A030433 |
12 n + 1 | 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, ... | A068228 |
12 n + 5 | 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, ... | A040117 |
12 n + 7 | 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, ... | A068229 |
12 n + 11 | 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, ... | A068231 |
Distribución
Dado que los primos se adelgazan, en promedio, de acuerdo con el teorema de los números primos , lo mismo debe ser cierto para los primos en las progresiones aritméticas. Es natural preguntarse cómo se comparten los números primos entre las diversas progresiones aritméticas para un valor dado de d (hay d de esos, esencialmente, si no distinguimos dos progresiones que comparten casi todos sus términos). La respuesta se da en esta forma: el número de progresiones factibles modulo d - aquellos en los que una y d no tiene un factor común> 1 - viene dada por la función totient de Euler
Además, la proporción de primos en cada uno de ellos es
Por ejemplo, si d es un número primo q , cada una de las progresiones q - 1
(todo excepto )
contiene una proporción 1 / ( q - 1) de los números primos.
Cuando se comparan entre sí, las progresiones con un resto cuadrático sin residuo tienen típicamente un poco más de elementos que aquellas con un resto cuadrático ( sesgo de Chebyshev ).
Historia
En 1737, Euler relacionó el estudio de los números primos con lo que ahora se conoce como función zeta de Riemann: demostró que el valor se reduce a una razón de dos productos infinitos, Π p / Π ( p –1), para todos los primos p , y que la razón es infinita. [1] [2] En 1775, Euler estableció el teorema para los casos de a + nd, donde a = 1. [3] Este caso especial del teorema de Dirichlet se puede probar usando polinomios ciclotómicos. [4] La forma general del teorema fue conjeturada por primera vez por Legendre en sus intentos fallidos de demostraciones de reciprocidad cuadrática [5] - como señaló Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae [6] - pero Dirichlet ( 1837 ) lo demostró con Dirichlet L - serie . La demostración se basa en el trabajo anterior de Euler que relaciona la función zeta de Riemann con la distribución de primos. El teorema representa el comienzo de una rigurosa teoría analítica de números .
Atle Selberg ( 1949 ) dio una prueba elemental .
Prueba
El teorema de Dirichlet se demuestra mostrando que el valor de la Dirichlet L-función (de un no trivial carácter ) a 1 es distinto de cero. La prueba de esta afirmación requiere algo de cálculo y teoría analítica de números ( Serre 1973 ). En el caso particular, a = 1 (es decir, con respecto a los primos que son congruentes con 1 módulo algunos n ) se puede probar analizando el comportamiento de división de los primos en extensiones ciclotómicas, sin hacer uso del cálculo ( Neukirch 1999 , §VII.6) .
Generalizaciones
La conjetura de Bunyakovsky generaliza el teorema de Dirichlet a polinomios de grado superior. Si incluso polinomios cuadráticos simples como x 2 + 1 (conocido por el cuarto problema de Landau ) alcanzan infinitos valores primos es un problema abierto importante .
La conjetura de Dickson generaliza el teorema de Dirichlet a más de un polinomio.
La hipótesis H de Schinzel generaliza estas dos conjeturas, es decir, generaliza a más de un polinomio con un grado mayor que uno.
En la teoría algebraica de números , el teorema de Dirichlet se generaliza al teorema de la densidad de Chebotarev .
El teorema de Linnik (1944) se refiere al tamaño del primo más pequeño en una progresión aritmética dada. Linnik demostró que la progresión a + nd (como n intervalos a través de los números enteros positivos) contiene un primer de magnitud en la mayoría cd L para las constantes absolutas c y L . Investigadores posteriores han reducido L a 5.
Un análogo del teorema de Dirichlet se mantiene en el marco de los sistemas dinámicos ( T. Sunada y A. Katsuda, 1990).
Ver también
- Teorema de Bombieri-Vinogradov
- Teorema de Brun-Titchmarsh
- Teorema de Siegel-Walfisz
- Teorema de aproximación de Dirichlet
- Teorema de Green-Tao
Notas
- ^ Euler, Leonhard (1737). "Observaciones de Variae circa series infinitas" [Varias observaciones sobre series infinitas]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 9 : 160-188. ; específicamente, el Teorema 7 en las págs. 172-174.
- ^ Sandifer, C. Edward, The Early Mathematics of Leonhard Euler (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 2007), p. 253.
- ^ Leonhard Euler, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1 / 31 etc. ubi numeri primi formae 4n - 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum "(Sobre la suma de series [compuestas] de números primos ordenados 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 etc., donde los números primos de la forma 4n - 1 tienen un signo positivo, mientras que [los] de la forma 4n + 1 [tiene] un signo negativo.) En: Leonhard Euler, Opuscula analytica (San Petersburgo, Rusia: Academia Imperial de Ciencias, 1785), vol. 2, págs. 240-256; ver p. 241. De p. 241: "Quoniam porro numeri primi praeter binarium cuasi a natura en duas clases distinguuntur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posterior vero ab hac propietario penitus excluduntur: serie recíproca ex utraque clases formatae, scillicet: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + etc.et 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + etc. ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701, etc., non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc.etiam est infinita ". (Dado que, además, los números primos mayores que dos se dividen como si la Naturaleza lo hiciera en dos clases, según fueran de la forma 4n + 1, o de la forma 4n - 1, ya que todos los primeros son sumas de dos cuadrados , pero estos últimos están completamente excluidos de esta propiedad: series recíprocas formadas a partir de ambas clases, a saber: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + etc. y 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + etc.serán ambos igualmente infinitos, cuya [propiedad] también se obtendrá de todos los tipos de números primos. Por lo tanto, si se eligen entre los números primos solo aquellos que son de la forma 100n + 1, de los cuales son 101, 401, 601, 701, etc., no solo el conjunto de estos es infinito, sino también la suma de la serie formada a partir de ese [conjunto], a saber: 1/101 + 1 / 401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. igualmente es infinito.)
- ^ Neukirch (1999) , §I.10, Ejercicio 1.
- ^ Ver:
- Le Gendre (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (Investigaciones de análisis interdeterminado), Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique , págs. 465–559; ver especialmente p. 552. De p. 552: "34. Remarque . Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une eligió que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers comp dans tous progression arithmétique, dont le premier terme & la raison sont premiers entr'eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Cette proposition est assez difficile à démontrer, cependant on peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la progression arithmétique dont il s'agit, à la progression ordinaire 1, 3, 5, 7, & c. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, por ejemplo, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7, & c. jusqu'à un cierto nombre premier p , il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la progresión 1, 3, 5, 7, & c. Mais comme dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre. " (34. Observación . Quizás sea necesario probar rigurosamente algo que hemos asumido en varios lugares de este artículo, es decir, que hay una infinidad de números primos incluidos en cada progresión aritmética, cuyo primer término y diferencia común son coprimos, o lo que equivale a lo mismo, en la fórmula 2mx + μ, cuando 2m y μ no tienen común Esta proposición es bastante difícil de probar, sin embargo, uno puede estar seguro de que es cierta comparando la progresión aritmética que se considera con la progresión ordinaria 1, 3, 5, 7, etc. términos de estas progresiones, el mismo [número de términos] en ambos, y si uno los ordena, por ejemplo, de manera que el término mayor sea igual y en el mismo lugar en ambos; se verá que al omitir de cada uno el múltiplos de 3, 5, 7, etc., hasta cierto número primo p , th Debe permanecer en ambos el mismo número de términos, o incluso habrá menos de ellos en la progresión 1, 3, 5, 7, etc. Pero como en este [conjunto], necesariamente quedan números primos, también quedarán algunos en el otro [conjunto].)
- AM Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres (París, Francia: Duprat, 1798), Introducción, págs. 9-16. Desde p. 12: "XIX.… En général, a étant un nombre donné quelconque, tout nombres imped peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est imped et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ONU ONT commun diviseur avec un, les formes Restantes 4AX ± b comprendront tous les nombres estrenos partagé, ... " (XIX. ... en general, un ser cualquier número dado, todos los números impares pueden ser representados por la fórmula 4AX ± b , en donde b es impar y menor que 2a . Si entre todos los valores posibles de b se eliminan los que tienen un divisor común con a , las fórmulas restantes 4ax ± b incluyen todos los números primos entre ellos ...)
- AM Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres , 2ª ed. (París, Francia: Courcier, 1808), pág. 404. De p. 404: "Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque; si on appelle en général π (z) le z ième terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11, etc., je dis que sur π (k-1) termes consécutifs de la progresión proposée, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, μ… ψ, ω. " (Sea cualquier progresión aritmética A - C, 2A - C, 3A - C, etc., en la que A y C sean primos entre sí [es decir, coprime]; dése también una serie θ, λ, μ ... ψ, ω compuesto de k números primos impares, tomadas a voluntad y dispuestos en cualquier orden, y si un llamadas en π general ( z ) la z ésimo término de la serie natural de los números primos 3, 5, 7, 11, etc. , Afirmo que entre los π ( k -1) términos consecutivos de la progresión propuesta, habrá al menos uno de ellos que no será divisible por ninguno de los números primos θ, λ, μ… ψ, ω.) Este Anthanase Louis Dupré (1808-1869) demostró que esta afirmación era falsa en 1858. Ver:
- Dupré, A. (1859) Examen d'une proposition de Legendre relativa à la théorie des nombres [Examen de una proposición de Legendre sobre la teoría de los números] (París, Francia: Mallet-Bachelier, 1859).
- Narkiewicz, Władysław, El desarrollo de la teoría de los números primos: de Euclid a Hardy y Littlewood (Berlín, Alemania: Springer, 2000); ver especialmente p. 50.
- ^ Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (Leipzig, (Alemania): Gerhard Fleischer, Jr., 1801), Sección 297, págs. 507–508. De las págs. 507–508: "Ill. Le Gendre ipse fatetur, demostrationem teorematis, sub tali forma kt + l , designantibus k , l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat , quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares necessariae nobis videntur, antequam hacce quidem via ad demonstrationem rigorosam pervenire liceat. " (El ilustre Le Gendre mismo admite [que] la demostración del teorema - [es decir, que] entre [enteros de] la forma kt + l , [donde] k y l denotan enteros dados [que son] primos entre sí [es decir , coprime] [y] t denota una variable, seguramente los números primos están contenidos - parece bastante difícil, y dicho sea de paso, señala un método que tal vez podría conducir a ello; sin embargo, hemos visto muchas investigaciones preliminares y necesarias. antes de que esta [conjetura] pueda llegar al camino de una demostración rigurosa).
Referencias
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Dirichlet" . MathWorld .
- Chris Caldwell, "Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas" en las páginas principales .
- Dirichlet, PGL (1837), "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische progresión, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält" [La prueba del teorema que cada progresión aritmética infinita, cuyo primer plazo y diferencia común son números enteros sin factores comunes, contiene infinitos números primos], Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 48 : 45–71
- Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números. Traducido del original alemán de 1992 y con una nota de Norbert Schappacher , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 322 , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, MR 1697859 , Zbl 0.956,11021.
- Selberg, Atle (1949), "Una demostración elemental del teorema de Dirichlet sobre los números primos en una progresión aritmética", Annals of Mathematics , 50 (2): 297-304, doi : 10.2307 / 1969454 , JSTOR 1969454 , Zbl 0036.30603.
- Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas , 7 , Nueva York; Heidelberg; Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90040-3, Zbl 0256.12001.
- Sunada, Toshikazu ; Katsuda, Atsushi (1990), "Órbitas cerradas en clases de homología" , Publ. Matemáticas. IHES , 71 : 5–32, doi : 10.1007 / BF02699875 , S2CID 26251216.
enlaces externos
- Escaneos del papel original en alemán
- Dirichlet: Hay infinitos números primos en todas las progresiones aritméticas con el primer término y la diferencia coprime traducción al inglés del artículo original en el arXiv
- Teorema de Dirichlet por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project .