En el procesamiento de señales digitales , el término serie discreta de Fourier (DFS) es cualquier señal periódica de tiempo discreto que comprende sinusoides reales discretas armónicamente relacionadas (es decir, Fourier ) o exponenciales complejas discretas, combinadas por una suma ponderada. Un ejemplo específico es la transformada de Fourier discreta inversa (DFT inversa). [1] : p. 542 Pero hay otras formas de crear un DFS.
Fórmula
La forma general de un DFS es :
| ( Ecuación 1 ) |
que son armónicos de una frecuencia fundamental para algún entero positivo La práctica gama de es porque la periodicidad hace que los valores mayores sean redundantes. Cuando el los coeficientes se derivan de un -longitud DFT, y un factor de se inserta, esto se convierte en una DFT inversa.
coeficientes no DFT
Considere un largo secuencia cuya longitud distinta de cero es mayor que Su transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) es una función de frecuencia continua equivalente a una suma periódica de transformadas de Fourier. Por tanto, es periódico. Si un ciclo se muestrea uniformemente veces y utilizado como coeficientes de una DFS, el resultado es una suma periódica de la secuencia original, designada aquí por :
La fórmula es la de una DFT inversa. Pero no funciona con coeficientes DFT. Entonces, estrictamente hablando, no está invirtiendo una DFT.
Derivación de la ecuación 2 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Para una función con transformada de Fourier la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia discretaviene dada por una serie de Fourier : donde el lado derecho de la igualdad es el resultado de la fórmula de suma de Poisson . Estas fórmulas son periódicas en frecuencia. con un período de (el recíproco del intervalo de muestra). Una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras a intervalos de frecuencia de abarcando así un ciclo de la DTFT periódica : donde la versión de frecuencia discreta y periodizada (N-periódica) de se denota por Debido a la N-periodicidad de la kernel, el lado izquierdo se puede "plegar" de la siguiente manera : Consecuentemente : Muestreo de DTFT
que es la transformada discreta de Fourier (DFT) de un ciclo deLa transformación inversa es : Serie discreta de Fourier
|
Referencias
- ↑ a b Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Buck, John R. (1999). "4,2, 8,4". Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
Las muestras de la transformada de Fourier de una secuencia aperiódica x [n] pueden considerarse como coeficientes DFS de una secuencia periódica obtenida mediante la suma de réplicas periódicas de x [n].
url = https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf - ^ Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Procesamiento de señales para comunicaciones (PDF) (1 ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. pag. 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Consultado el 4 de octubre de 2020 .
los coeficientes DFS para la señal periodizada son un conjunto discreto de valores para su DTFT