En matemáticas , la ecuación de Poisson discreta es el análogo en diferencias finitas de la ecuación de Poisson . En él, el operador discreto de Laplace ocupa el lugar del operador de Laplace . La ecuación de Poisson discreta se usa con frecuencia en el análisis numérico como un sustituto de la ecuación de Poisson continua, aunque también se estudia por derecho propio como un tema en matemáticas discretas .
En una cuadrícula rectangular bidimensional
Usando el método numérico de diferencias finitas para discretizar la ecuación de Poisson bidimensional (asumiendo una discretización espacial uniforme,) en una cuadrícula de m × n da la siguiente fórmula: [1]
dónde y . La disposición preferida del vector de solución es utilizar un orden natural que, antes de eliminar los elementos de contorno, se vería así:
Esto dará como resultado un sistema lineal mn × mn :
dónde
es la matriz identidad m × m , y, también m × m , viene dado por:
[2] y es definido por
Para cada ecuación, las columnas de corresponden a un bloque de componentes en :
mientras que las columnas de a la izquierda y derecha de cada uno corresponde a otros bloques de componentes dentro :
y
respectivamente.
De lo anterior se puede inferir que existen bloquear columnas de en . Es importante señalar que los valores prescritos de (por lo general se encuentran en el límite) tendrían sus elementos correspondientes eliminados de y . Para el caso común de que se establezcan todos los nodos en el límite, tenemos y , y el sistema tendría las dimensiones ( m - 2) ( n - 2) × ( m - 2) ( n - 2), donde y tendría dimensiones ( m - 2) × ( m - 2).
Ejemplo
Para un 5 × 5 ( y ) cuadrícula con todos los nodos de límite prescritos, el sistema se vería así:
con
y
Como puede verse, el límite Las de se colocan en el lado derecho de la ecuación. [3] Todo el sistema es 9 × 9 mientras que y son 3 × 3 y están dados por:
y
Métodos de solución
Porque es un bloque tridiagonal y escaso, se han desarrollado muchos métodos de solución para resolver de manera óptima este sistema lineal para . Entre los métodos se encuentran un algoritmo de Thomas generalizado con una complejidad computacional resultante de, reducción cíclica , sobrerelajación sucesiva que tiene una complejidad dey transformadas rápidas de Fourier, que es. Un óptimoLa solución también se puede calcular utilizando métodos de redes múltiples . [4]
Aplicaciones
En dinámica de fluidos computacional , para la solución de un problema de flujo incompresible, la condición de incompresibilidad actúa como una restricción para la presión. No hay una forma explícita disponible para la presión en este caso debido a un fuerte acoplamiento de los campos de velocidad y presión. En esta condición, tomando la divergencia de todos los términos en la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene la ecuación de poisson de presión.
Para un flujo incompresible, esta restricción viene dada por:
dónde es la velocidad en el dirección, es la velocidad en y es la velocidad en el dirección. Tomando la divergencia de la ecuación del momento y usando la restricción de incompresibilidad, la ecuación de poisson de presión está formada por:
dónde es la viscosidad cinemática del fluido y es el vector de velocidad. [5]
La ecuación de Poisson discreta surge en la teoría de cadenas de Markov . Aparece como la función de valor relativo para la ecuación de programación dinámica en un proceso de decisión de Markov , y como la variable de control para su aplicación en la reducción de la varianza de simulación. [6] [7] [8]
Notas al pie
- ^ Hoffman, Joe (2001), "Capítulo 9. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas", Métodos numéricos para ingenieros y científicos (2ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-8247-0443-6.
- ^ Golub, Gene H. y CF Van Loan, Cálculos matriciales, 3ª Ed. , The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996, páginas 177–180.
- ^ Cheny, Ward y David Kincaid, Matemáticas numéricas y computación 2ª Ed. , Brooks / Cole Publishing Company, Pacific Grove, 1985, páginas 443–448.
- ^ CS267: Notas para las conferencias 15 y 16, 5 y 7 de marzo de 1996, https://people.eecs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture24/lecture24.html
- ^ Fletcher, Clive AJ, Técnicas computacionales para la dinámica de fluidos: Vol I , 2ª ed., Springer-Verlag, Berlín, 1991, página 334–339.
- ^ SP Meyn y RL Tweedie, 2005. Cadenas de Markov y estabilidad estocástica . Segunda edición publicada, Cambridge University Press, 2009.
- ^ SP Meyn, 2007. Técnicas de control para redes complejas , Cambridge University Press, 2007.
- ^ Asmussen, Søren, Glynn, Peter W., 2007. "Simulación estocástica: algoritmos y análisis". Saltador. Serie: Modelado estocástico y probabilidad aplicada, vol. 57, 2007.
Referencias
- Hoffman, Joe D., Métodos numéricos para ingenieros y científicos, 4ª ed. , McGraw – Hill Inc., Nueva York, 1992.
- Sweet, Roland A., SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 11, núm. 3 , junio de 1974, 506–520.
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 20.4. Métodos de reducción cíclica y de Fourier" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.