La reducción cíclica es un método numérico para resolver grandes sistemas lineales dividiendo repetidamente el problema. Cada paso elimina filas y columnas pares o impares de una matriz y permanece en una forma similar. El paso de eliminación es relativamente caro, pero dividir el problema permite el cálculo paralelo.
Aplicabilidad
El método solo se aplica a matrices que se pueden representar como una matriz de Toeplitz (en bloque) ; estos problemas a menudo surgen en soluciones implícitas para ecuaciones diferenciales parciales en una red. Por ejemplo, los solucionadores rápidos de la ecuación de Poisson expresan el problema como la resolución de una matriz tridiagonal, discretizando la solución en una cuadrícula regular.
Precisión
Los sistemas que tienen buena estabilidad numérica inicialmente tienden a mejorar con cada paso hasta un punto en el que se puede dar una buena solución aproximada, [1] pero debido a que la forma matricial especial debe conservarse, no se puede realizar pivote para mejorar la precisión numérica.
Comparación con multirredes
El método no es iterativo, busca una solución exacta al problema lineal consistente con los valores límite dados, en contraste con el método de redes múltiples similar pero computacionalmente más económico que propaga las estimaciones de corrección de errores hacia abajo y permite diferentes parámetros de relajación a diferentes escalas. Aspecto iterativo que permite una mejor incorporación de características no lineales.
Combinación con transformada rápida de Fourier FFT
La transformación desde el dominio espacial y la reformulación de la PDE se denomina método espectral , el análisis de Fourier y la reducción cíclica se combinan en el algoritmo FACR [2] que se explica en Recetas numéricas; consulte 19.4 Métodos de reducción cíclica y de Fourier para problemas de valores en la frontera. [3]
notas y referencias
- ^ Walter Gander y Gene H. Golub, Reducción cíclica - Historia y aplicaciones , Actas del taller sobre informática científica 10-12 de marzo de 1997
- ^ PN Swarztrauber, El método de reducción cíclica, análisis de Fourier y el algoritmo FACR para la solución discreta de la ecuación de Poisson en un rectángulo, Society for Industrial and Applied Mathematics 'SIAM Review 19 pp. 490-501 1977
- ^ WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery Numerical Recipes In 'C': The Art Of Scientific Computing Archivado 2013-08-06 en Wayback Machine p 885 ISBN 0-521-43108-5 Cambridge University Press 1988-1992