La inecuación

Declaración matemática de que dos valores no son iguales

En matemáticas , una inecuación es una declaración de que la desigualdad o de un no se cumple la igualdad entre dos valores. ^{[1] [2] [3]} Suele estar escrito en forma de un par de expresiones que denotan los valores en cuestión, con un signo relacional entre ellos que indica la relación de desigualdad específica. Algunos ejemplos de inecuaciones son:

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle x+y+z\leq 1}$
• ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

En algunos casos, el término "desigualdad" puede considerarse sinónimo del término "desigualdad", ^[4] mientras que en otros casos, una desigualdad se reserva solo para enunciados cuya relación de desigualdad "no es igual a" (≠). ^{[1] [3]}

Cadenas de inecuaciones

Se usa una notación abreviada para la conjunción de varias inecuaciones que involucran expresiones comunes, al encadenarlas. ^[1] Por ejemplo, la cadena

${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}$

es una abreviatura de

${\displaystyle 0\leq a~~\mathrm {and} ~~a<b~~\mathrm {and} ~~b\leq 1}$

lo que también implica que ${\displaystyle 0<b}$ y ${\displaystyle a<1}$.

En casos raros, se utilizan cadenas sin tales implicaciones sobre términos distantes. Por ejemplo${\displaystyle i\neq 0\neq j}$ es una abreviatura de ${\displaystyle i\neq 0~~\mathrm {and} ~~0\neq j}$, que no implica ${\displaystyle i\neq j.}$^{[ cita requerida ]} Del mismo modo,${\displaystyle a<b>c}$ es una abreviatura de ${\displaystyle a<b~~\mathrm {and} ~~b>c}$, que no implica ningún orden de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle c}$. ^[5]

Resolver inecuaciones

Conjunto de soluciones (representado como región factible ) para una lista de muestra de inecuaciones

Similar a la resolución de ecuaciones , la resolución de inecuaciones significa encontrar qué valores (números, funciones, conjuntos, etc.) cumplen una condición establecida en forma de inecuación o conjunción de varias inecuaciones. Estas expresiones contienen una o más incógnitas , que son variables libres para las que se buscan valores que hacen que se cumpla la condición. Para ser precisos, lo que se busca a menudo no son necesariamente valores reales, sino, más en general, expresiones. Una solución de la inecuación es una asignación de expresiones a las incógnitas que satisface las inecuaciones; en otras palabras, expresiones tales que, cuando se sustituyen por las incógnitas, hacen que las inecuaciones sean proposiciones verdaderas. A menudo, un adicionalSe da una expresión objetiva (es decir, una ecuación de optimización), que debe minimizarse o maximizarse mediante una solución óptima . ^[6]

Por ejemplo,

${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}}$

es una conjunción de inecuaciones, parcialmente escrito como cadenas (donde ${\displaystyle \land }$se puede leer como "y"); el conjunto de sus soluciones se muestra en azul en la imagen (las líneas roja, verde y naranja correspondientes a la 1ª, 2ª y 3ª conjunción, respectivamente). Para un ejemplo más amplio. ver Programación lineal # Ejemplo .

El soporte informático para resolver inecuaciones se describe en programación de restricciones ; en particular, el algoritmo simplex encuentra soluciones óptimas de inecuaciones lineales. ^[7] El lenguaje de programación Prolog III también admite la resolución de algoritmos para clases particulares de desigualdades (y otras relaciones) como una característica básica del lenguaje. Para obtener más información, consulte programación de lógica de restricciones .

Combinaciones de significados

Por lo general, debido a las propiedades de ciertas funciones (como las raíces cuadradas), algunas inecuaciones son equivalentes a una combinación de muchas otras. Por ejemplo, la inecuación${\displaystyle \textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)}$ es lógicamente equivalente a las siguientes tres inecuaciones combinadas:

1. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle g(x)>0}$
3. ${\displaystyle f(x)<\left(g(x)\right)^{2}}$

Ver también

• Ecuación
• Signo de igual
• Desigualdad (matemáticas)
• Operador relacional

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - desigualdad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
2. Thomas H. Sidebotham (2002). La A a la Z de las matemáticas: una guía básica . John Wiley e hijos. pag. 252. ISBN 0-471-15045-2.
3. Weisstein, Eric W. "Inecuación" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
4. "BestMaths" . bestmaths.net . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
5. Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (1990). Introducción a las celosías y el orden . Libros de texto de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge. definición de cerca en el ejercicio 1.11, p.23. ISBN 0-521-36766-2. LCCN  89009753 .
6. Stapel, Elizabeth. "Programación lineal: Introducción" . Purplemath . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
7. "Optimización - El método simplex" . Enciclopedia Británica . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .