En lógica , matemáticas y lingüística , Y () es el operador funcional de verdad de la conjunción lógica ; el y de un conjunto de operandos es verdadero si y solo si todos sus operandos son verdaderos. El conectivo lógico que representa a este operador se escribe típicamente comoo ⋅ . [1] [2] [3]
Y | |
---|---|
Definición | |
Mesa de la verdad | |
Puerta lógica | |
Formas normales | |
Disyuntivo | |
Conjuntivo | |
Polinomio de Zhegalkin | |
Celosías de correos | |
0-conservando | sí |
1-conservando | sí |
Monótono | No |
Afín | No |
es cierto si y solo si es cierto y es verdad.
Un operando de una conjunción es una conjunción .
Más allá de la lógica, el término "conjunción" también se refiere a conceptos similares en otros campos:
- En lenguaje natural , la denotación de expresiones como inglés "y".
- En lenguajes de programación , la estructura de cortocircuito y control .
- En teoría de conjuntos , intersección .
- En la teoría de la celosía , conjunción lógica ( límite inferior máximo ).
- En lógica de predicados , cuantificación universal .
Notación
Y generalmente se denota por un operador infijo: en matemáticas y lógica, se denota por, [1] [3] & o × ; en electrónica, ⋅ ; y en los lenguajes de programación, &
, &&
, o and
. En la notación de prefijo de Jan Łukasiewicz para la lógica , el operador es K , para el polaco koniunkcja . [4]
Definición
La conjunción lógica es una operación sobre dos valores lógicos , típicamente los valores de dos proposiciones , que produce un valor verdadero si y solo si ambos operandos son verdaderos. [2] [3]
La identidad conjuntiva es verdadera, lo que equivale a decir que hacer un AND en una expresión con verdadero nunca cambiará el valor de la expresión. De acuerdo con el concepto de verdad vacía , cuando la conjunción se define como un operador o función de aridad arbitraria , la conjunción vacía (Y sobre un conjunto vacío de operandos) a menudo se define como un resultado verdadero.
Mesa de la verdad
La tabla de verdad de: [2] [3]
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | F |
Definido por otros operadores
En sistemas donde la conjunción lógica no es una primitiva, puede definirse como [5]
o
Reglas de introducción y eliminación
Como regla de inferencia, introducción de la conjunción es un clásico válida , simple formulario argumento . La forma de argumento tiene dos premisas, A y B . Intuitivamente, permite inferir su conjunción.
- A ,
- B .
- Por lo tanto, A y B .
o en notación de operador lógico :
A continuación, se muestra un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma de conjunción de introducción :
- A Bob le gustan las manzanas.
- A Bob le gustan las naranjas.
- Por tanto, a Bob le gustan las manzanas y a Bob le gustan las naranjas.
La eliminación de conjunciones es otra forma de argumento simple y clásicamente válida . Intuitivamente, permite la inferencia de cualquier conjunción de cualquiera de los elementos de esa conjunción.
- A y B .
- Por lo tanto, A .
...o alternativamente,
- A y B .
- Por lo tanto, B .
En notación de operador lógico :
...o alternativamente,
Negación
Definición
Una conjunción se demuestre que es falso estableciendo o . En términos del lenguaje de objetos, esto dice
Esta fórmula puede verse como un caso especial de
Cuándo es una proposición falsa.
Otras estrategias de prueba
Si implica , entonces ambos así como probar la conjunción falsa:
En otras palabras, se puede probar que una conjunción es falsa simplemente conociendo la relación de sus conjunciones, y no necesariamente acerca de sus valores de verdad.
Esta fórmula puede verse como un caso especial de
Cuándo es una proposición falsa.
Cualquiera de los anteriores son pruebas constructivamente válidas por contradicción.
Propiedades
conmutatividad : sí
asociatividad : si
distributividad : con varias operaciones, especialmente con o
otros | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
con exclusivo o : con no implicación material : consigo mismo: |
idempotencia : si
monotonicidad : si
preservación de la verdad: sí
Cuando todas las entradas son verdaderas, la salida es verdadera.
(para ser probado) |
preservación de la falsedad: sí
Cuando todas las entradas son falsas, la salida es falsa.
(para ser probado) |
Espectro de Walsh : (1, -1, -1,1)
No linealidad : 1 (la función está doblada )
Si usa valores binarios para verdadero (1) y falso (0), entonces la conjunción lógica funciona exactamente como la multiplicación aritmética normal .
Aplicaciones en ingeniería informática
En programación informática de alto nivel y electrónica digital , la conjunción lógica se representa comúnmente por un operador infijo, generalmente como una palabra clave como " AND
", una multiplicación algebraica o el símbolo y comercial &
(a veces duplicado como en &&
). Muchos lenguajes también proporcionan estructuras de control de cortocircuito correspondientes a la conjunción lógica.
La conjunción lógica se usa a menudo para operaciones bit a bit, donde 0
corresponde a falso y 1
verdadero:
0 AND 0
=0
,0 AND 1
=0
,1 AND 0
=0
,1 AND 1
=1
.
La operación también se puede aplicar a dos palabras binarias vistas como cadenas de bits de igual longitud, tomando el AND bit a bit de cada par de bits en las posiciones correspondientes. Por ejemplo:
11000110 AND 10100011
=10000010
.
Esto se puede utilizar para seleccionar parte de una cadena de bits mediante una máscara de bits . Por ejemplo, = extrae el quinto bit de una cadena de bits de 8 bits.10011101 AND 00001000
00001000
En las redes informáticas , las máscaras de bits se utilizan para derivar la dirección de red de una subred dentro de una red existente a partir de una dirección IP determinada , mediante el AND de la dirección IP y la máscara de subred .
La conjunción lógica " AND
" también se utiliza en operaciones SQL para formar consultas a la base de datos.
La correspondencia Curry-Howard relaciona la conjunción lógica con los tipos de productos .
Correspondencia de la teoría de conjuntos
La pertenencia a un elemento de un conjunto de intersecciones en la teoría de conjuntos se define en términos de una conjunción lógica: x ∈ A ∩ B si y solo si ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). A través de esta correspondencia, la intersección de la teoría de conjuntos comparte varias propiedades con la conjunción lógica, como la asociatividad , la conmutatividad y la idempotencia .
Lenguaje natural
Como ocurre con otras nociones formalizadas en la lógica matemática, la conjunción lógica y está relacionada, pero no es lo mismo, con la conjunción gramatical y en los lenguajes naturales.
Inglés "y" tiene propiedades no capturadas por conjunción lógica. Por ejemplo, "y" a veces implica que el orden tiene el sentido de "entonces". Por ejemplo, "Se casaron y tuvieron un hijo" en el discurso común significa que el matrimonio vino antes que el hijo.
La palabra "y" también puede implicar una partición de una cosa en partes, como "La bandera estadounidense es roja, blanca y azul". Aquí, no se quiere decir que la bandera es a la vez rojo, blanco y azul, sino que tiene una parte de cada color.
Ver también
- Gráfico de inversor y
- Y puerta
- Y bit a bit
- Álgebra booleana (lógica)
- Temas de álgebra booleana
- Consulta conjuntiva booleana
- Dominio booleano
- Función booleana
- Función de valor booleano
- Eliminación de conjunciones
- Leyes de de Morgan
- Lógica de primer orden
- Desigualdades de Fréchet
- Conjunción gramatical
- Disyunción lógica
- Negación lógica
- Gráfico lógico
- Operación
- Notación de Peano-Russell
- Cálculo proposicional
Referencias
- ^ a b "Lista completa de símbolos lógicos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-06 . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
- ^ a b c "Conjunción, negación y disyunción" . Philosophy.lander.edu . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
- ^ a b c d "2.2: Conjunciones y disyunciones" . Matemáticas LibreTexts . 2019-08-13 . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
- ↑ Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic , traducido por Otto Bird de las ediciones francesa y alemana, Dordrecht, Holanda Meridional: D. Reidel, passim.
- ^ Smith, Peter. "Tipos de sistema de prueba" (PDF) . pag. 4.
enlaces externos
- "Conjunción" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Wolfram MathWorld: Conjunción
- "Tabla de propiedades y verdad de proposiciones AND" . Archivado desde el original el 6 de mayo de 2017.