Introducción a Lattices and Order es un libro de texto matemático sobre la teoría del orden de Brian A. Davey y Hilary Priestley . Fue publicado por Cambridge University Press en su serie Cambridge Mathematical Textbooks en 1990, [1] [2] [3] con una segunda edición en 2002. [4] [5] [6] La segunda edición es significativamente diferente en su temas y organización, y se revisó para incorporar los desarrollos recientes en el área, especialmente en sus aplicaciones a la informática . [4] [6]
Temas
Ambas ediciones del libro tienen 11 capítulos; en el segundo libro están organizados, los primeros cuatro proporcionan una referencia general para matemáticos e informáticos, y los siete restantes se centran en material más especializado para lógicos, topólogos y teóricos de la red. [4]
El primero se refiere capítulo clasificadas parcialmente conjuntos , con un ejemplo fundamental dada por las funciones parciales ordenados por la relación subconjunto en sus gráficos , y las cubiertas conceptos fundamentales incluyendo elementos superiores e inferiores y superior y conjuntos inferiores . Estas ideas conducen al segundo capítulo, sobre celosías , en el que cada dos elementos (o en celosías completas , cada conjunto) tiene un límite inferior mayor y un límite superior mínimo. Este capítulo incluye la construcción de un retículo a partir de los conjuntos inferiores de cualquier orden parcial y el teorema de Knaster-Tarski que construye un retículo a partir de los puntos fijos de una función de conservación de orden en un retículo completo. El capítulo tres se refiere al análisis de conceptos formales , su construcción de "redes de conceptos" a partir de colecciones de objetos y sus propiedades, con cada elemento de la red representando tanto un conjunto de objetos como un conjunto de propiedades mantenidas por esos objetos, y la universalidad de esta construcción celosías completas. El cuarto de los capítulos introductorios se refiere a clases especiales de celosías, incluidas celosías modulares , celosías distributivas y celosías booleanas . [5]
En la segunda parte del libro, el capítulo 5 se refiere al teorema de que todo entramado booleano finito es isomórfico al entramado de subconjuntos de un conjunto finito, y (menos trivialmente) al teorema de representación de Birkhoff según el cual todo entramado distributivo finito es isomórfico al retículo de conjuntos inferiores de un orden parcial finito. El capítulo 6 cubre las relaciones de congruencia en las celosías. Los temas del capítulo 7 incluyen las operaciones de cierre y las conexiones de Galois en pedidos parciales, y la finalización Dedekind-MacNeille de un pedido parcial en el entramado completo más pequeño que lo contiene. Los dos capítulos siguientes se refieren a órdenes parciales completos , sus teoremas de coma fija, sistemas de información y sus aplicaciones a la semántica denotacional . El capítulo 10 analiza los equivalentes teóricos del orden del axioma de elección , incluidas las extensiones de los teoremas de representación desde el capítulo 5 hasta las celosías infinitas, y el capítulo final analiza la representación de celosías con espacios topológicos, incluido el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas y la teoría de la dualidad. para celosías distributivas . [5]
Dos apéndices proporcionan los antecedentes de la topología necesaria para el capítulo final y una bibliografía anotada. [6]
Audiencia y recepción
Este libro está dirigido a estudiantes graduados principiantes, [2] aunque también podría ser utilizado por estudiantes universitarios avanzados. [6] Sus numerosos ejercicios lo hacen adecuado como un libro de texto del curso, [2] [3] y sirven tanto para completar los detalles de la exposición en el libro como para proporcionar sugerencias sobre temas adicionales. [5] Aunque se requiere cierta sofisticación matemática de sus lectores, los principales requisitos previos son las matemáticas discretas , el álgebra abstracta y la teoría de grupos . [2] [5]
Al escribir la primera edición, el crítico Josef Niederle lo llama "un excelente libro de texto", "actualizado y claro". [3] De manera similar, Thomas S. Blyth elogia la primera edición como "un relato bien escrito, satisfactorio, informativo y estimulante de aplicaciones que son de gran interés", [1] y en una revisión actualizada escribe que la segunda edición es tan bueno como el primero. [4] De manera similar, aunque Jon Cohen tiene algunas objeciones con el orden y la selección de temas (particularmente la inclusión de congruencias a expensas de una visión teórica de categorías del tema), concluye que el libro es "una introducción maravillosa y accesible a la teoría de la celosía, de igual interés tanto para los informáticos como para los matemáticos ". [5]
Tanto Blyth como Cohen notan el hábil uso de LaTeX en el libro para crear sus diagramas, y sus útiles descripciones de cómo se hicieron los diagramas. [1] [5]
Referencias
- ^ a b c Blyth, TS (1991), "Revisión de la introducción a celosías y orden (1ª ed.)", Revisiones matemáticas , MR 1058437
- ^ a b c d Davidow, Amy (febrero de 1991), "Review of Introduction to Lattices and Order (1ª ed.)", Telegraphic Reviews, The American Mathematical Monthly , 98 (2): 184, JSTOR 2323967
- ^ a b c Niederle, Josef, "Revisión de la introducción a las celosías y el orden (1ª ed.)", ZbMATH , Zbl 0701.06001
- ^ a b c d Blyth, TS (2003), "Revisión de la introducción a las celosías y el orden (2ª ed.)", Revisiones matemáticas , MR 1902334
- ^ a b c d e f g Cohen, Jonathan (marzo de 2007), "Review of Introduction to Lattices and Order (2nd ed.)" (PDF) , ACM SIGACT News , 38 (1): 17–23, doi : 10.1145 / 1233481.1233488
- ^ a b c d Slavík, Václav, "Review of Introduction to Lattices and Order (2ª ed.)", ZbMATH , Zbl 1002.06001