Distorsión (matemáticas)


En matemáticas , la distorsión es una medida de la cantidad por la cual una función del plano euclidiano a sí misma distorsiona círculos a elipses. Si la distorsión de una función es igual a uno, entonces es conforme ; si la distorsión está acotada y la función es un homeomorfismo , entonces es cuasiconformal . La distorsión de una función ƒ del plano viene dada por

que es la excentricidad límite de la elipse producida al aplicar ƒ a círculos pequeños centrados en  z . A menudo es muy difícil trabajar con esta definición geométrica, y las características analíticas necesarias se pueden extrapolar a la siguiente definición. Un mapeo ƒ  : Ω →  R 2 desde un dominio abierto en el plano hasta el plano tiene una distorsión finita en un punto x  ∈ Ω si ƒ está en el espacio de Sobolev W1,1
ubicación
(Ω,  R 2 ), el determinante jacobiano J( x ,ƒ) es localmente integrable y no cambia de signo en Ω, y existe una función medible K ( x ) ≥ 1 tal que

Para funciones en un espacio euclidiano R n de mayor dimensión , hay más medidas de distorsión porque hay más de dos ejes principales de un tensor simétrico. La información puntual está contenida en el tensor de distorsión .

La distorsión exterior también se puede caracterizar por medio de una desigualdad similar a la dada en el caso bidimensional. Si Ω es un conjunto abierto en R n , entonces una función ƒ ∈ W1,1
ubicación
(Ω, R n )
tiene una distorsión finita si su jacobiano es localmente integrable y no cambia de signo, y existe una función medible K O (la distorsión exterior) tal que