En el campo matemático de la topología , un homeomorfismo , isomorfismo topológico o función bicontinua es una función continua entre espacios topológicos que tiene una función inversa continua . Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos , es decir, son los mapeos que preservan todas las propiedades topológicas de un espacio dado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se denominan homeomorfos , y desde un punto de vista topológico son iguales. La palabraEl homeomorfismo proviene de las palabras griegas ὅμοιος ( homoios ) = similar o igual y μορφή ( morphē ) = forma, forma, introducida a las matemáticas por Henri Poincaré en 1895. [1] [2]
En términos muy generales, un espacio topológico es un objeto geométrico , y el homeomorfismo es un estiramiento y flexión continuos del objeto en una nueva forma. Por lo tanto, un cuadrado y un círculo son homeomórficos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede ser engañosa. Algunas deformaciones continuas no son homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no son deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo de trébol y un círculo.
Una broma matemática que se repite a menudo es que los topólogos no pueden diferenciar entre una taza de café y una rosquilla, [3] ya que una rosquilla suficientemente flexible podría reformarse para adoptar la forma de una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se conserva el agujero de rosquilla en el asa de la taza.
Definición
Una función entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si tiene las siguientes propiedades:
- es una biyección ( uno a uno y sobre ),
- es continuo ,
- la función inversa es continuoes un mapeo abierto ).
Un homeomorfismo a veces se denomina función bicontinua . Si tal función existe, y son homeomorfos . Un auto-homeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. "Ser homeomorfo" es una relación de equivalencia en espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se denominan clases de homeomorfismo .
Ejemplos de
- El intervalo abierto es homeomorfo a los números reales para cualquier . (En este caso, un mapeo directo bicontinuo viene dado pormientras que otras asignaciones de este tipo se dan mediante versiones escaladas y traducidas de las funciones tan o arg tanh ).
- La unidad 2- disco y el cuadrado unitario en R 2 son homeomorfos; ya que el disco de la unidad se puede deformar en el cuadrado de la unidad. Un ejemplo de un mapeo bicontinuo desde el cuadrado al disco es, en coordenadas polares ,.
- La gráfica de una función diferenciable es homeomorfa al dominio de la función.
- Una parametrización diferenciable de una curva es un homeomorfismo entre el dominio de la parametrización y la curva.
- Un gráfico de una variedad es un homeomorfismo entre un subconjunto abierto de la variedad y un subconjunto abierto de un espacio euclidiano .
- La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera unitaria en R 3 con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en R 2 (un plano bidimensional ).
- Si es un grupo topológico , su mapa de inversiónes un homeomorfismo. Además, para cualquier, la traducción de la izquierda , la traducción correcta , y el automorfismo interno son homeomorfismos.
No ejemplos
- R m y R n no son homeomorfos para m ≠ n .
- La línea real euclidiana no es homeomórfica al círculo unitario como subespacio de R 2 , ya que el círculo unitario es compacto como un subespacio de R 2 euclidiano, pero la línea real no es compacta.
- Los intervalos unidimensionales y no son homeomorfos porque no se pudo realizar una biyección continua. [4]
Notas
El tercer requisito, que ser continuo, es fundamental. Considere, por ejemplo, la función(el círculo unitario en) definido por. Esta función es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo (es compacto perono es). La función no es continuo en el punto , porque aunque mapas a , cualquier vecindad de este punto también incluye puntos que la función mapea cerca depero los puntos que asigna a los números intermedios se encuentran fuera del vecindario. [5]
Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos . Como tal, la composición de dos homeomorfismos es nuevamente un homeomorfismo, y el conjunto de todos los auto-homeomorfismosforma un grupo , llamado el grupo de homeomorfismo de X , a menudo denotado. A este grupo se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta , que bajo ciertos supuestos lo convierte en un grupo topológico . [6]
Para algunos propósitos, el grupo de homeomorfismos resulta ser demasiado grande, pero por medio de la relación de isotopía , se puede reducir este grupo al grupo de clases de mapeo .
Del mismo modo, como es habitual en la teoría de categorías, dados dos espacios que son homeomorfos, el espacio de homeomorfismos entre ellos, es un torsor para los grupos de homeomorfismo y , y, dado un homeomorfismo específico entre y , se identifican los tres conjuntos.
Propiedades
- Dos espacios homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas . Por ejemplo, si uno de ellos es compacto , el otro también lo es; si uno de ellos está conectado , el otro también lo está; si uno de ellos es Hausdorff , entonces el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán. Sin embargo, tenga en cuenta que esto no se extiende a las propiedades definidas mediante una métrica ; hay espacios métricos que son homeomorfos aunque uno de ellos esté completo y el otro no.
- Un homeomorfismo es simultáneamente un mapeo abierto y un mapeo cerrado ; es decir, asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.
- Cada auto-homeomorfismo en se puede extender a un auto-homeomorfismo de todo el disco ( El truco de Alejandro ).
Discusión informal
El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y pegar juntos requiere cierta cantidad de práctica para aplicarlo correctamente; puede que no sea obvio a partir de la descripción anterior que deformar un segmento de línea en un punto es inadmisible, por ejemplo. Por tanto, es importante darse cuenta de que lo que cuenta es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de línea posee un número infinito de puntos y, por lo tanto, no se puede colocar en una biyección con un conjunto que contiene solo un número finito de puntos, incluido un solo punto.
Esta caracterización de un homeomorfismo a menudo conduce a una confusión con el concepto de homotopía , que en realidad se define como una deformación continua, pero de una función a otra, en lugar de un espacio a otro. En el caso de un homeomorfismo, imaginar una deformación continua es una herramienta mental para hacer un seguimiento de qué puntos en el espacio X corresponden a qué puntos en Y; uno simplemente los sigue cuando X se deforma. En el caso de la homotopía, la deformación continua de un mapa a otro es esencial, y también es menos restrictiva, ya que ninguno de los mapas involucrados necesita ser uno a uno o sobre. La homotopía conduce a una relación de espacios: equivalencia de homotopía .
Existe un nombre para el tipo de deformación involucrada en la visualización de un homeomorfismo. Es (excepto cuando se requieren corte y regluing) un isotopía entre el mapa de identidad en X y el homeomorfismo de X a Y .
Ver también
- Homeomorfismo local : un mapa abierto continuo que, alrededor de cada punto de su dominio, tiene un vecindario en el que se restringe a un homomorfismo.
- Diffeomorfismo : isomorfismo de variedades suaves; una biyección suave con un inverso suave
- Isomorfismo uniforme: el homeomorfismo uniformemente continuo es un isomorfismo entre espacios uniformes
- El isomorfismo isométrico es un isomorfismo entre espacios métricos
- Grupo de homeomorfismo
- Giro de Dehn
- Homeomorfismo (teoría de grafos) : concepto en la teoría de grafos (estrechamente relacionado con la subdivisión de grafos)
- Homotopía # Isotopía - Deformación continua entre dos mapas continuos
- Grupo de clases de mapeo : grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismo topológico
- Conjetura de Poincaré : todo colector tridimensional cerrado y simplemente conectado es homeomórfico a la esfera tridimensional
- Homeomorfismo universal
Referencias
- ^ "Análisis Situs selon Poincaré (1895)" . serge.mehl.free.fr . Archivado desde el original el 11 de junio de 2016 . Consultado el 29 de abril de 2018 .
- ^ Gamelin, TW; Greene, RE (1999). Introducción a la topología . Mensajero. pag. 67.
- ^ Hubbard, John H .; West, Beverly H. (1995). Ecuaciones diferenciales: un enfoque de sistemas dinámicos. Parte II: Sistemas de dimensiones superiores . Textos en Matemática Aplicada. 18 . Saltador. pag. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
- ^ "Biyección continua de (0,1) a [0,1]" . Intercambio de pila de matemáticas . 2011-06-01 . Consultado el 2 de abril de 2019 .
- ↑ Väisälä, Jussi: Topologia I , Limes RY 1999, p. 63. ISBN 951-745-184-9 .
- ^ Dijkstra, Jan J. (1 de diciembre de 2005). "Sobre grupos de homeomorfismo y la topología compacta-abierta" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 112 (10): 910. doi : 10.2307 / 30037630 . Archivado (PDF) desde el original el 16 de septiembre de 2016.
enlaces externos
- "Homeomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]