En matemáticas , la desigualdad martingala de Doob , también conocida como desigualdad submartingala de Kolmogorov, es un resultado del estudio de los procesos estocásticos . Da un límite en la probabilidad de que un proceso estocástico exceda cualquier valor dado durante un intervalo de tiempo dado. Como sugiere el nombre, el resultado se suele dar en el caso de que el proceso sea una martingala , pero el resultado también es válido para submartingalas.
La desigualdad se debe al matemático estadounidense Joseph L. Doob .
Sea X una submartingala que toma valores reales, ya sea en tiempo discreto o continuo. Es decir, para todos los tiempos s y t con s < t ,
(Para una submartingala de tiempo continuo, suponga además que el proceso es càdlàg .) Entonces, para cualquier constante C > 0,
En lo anterior, como es convencional, P denota una medida de probabilidad en el espacio muestral Ω del proceso estocástico
y denota el valor esperado con respecto a la medida de probabilidad P , es decir, la integral
en el sentido de la integración de Lebesgue .denota la σ-álgebra generada por todas las variables aleatorias X i con i ≤ s ; la colección de tales σ-álgebras forma una filtración del espacio de probabilidad.
Hay más desigualdades de submartingala también debido a Doob. Con las mismas suposiciones sobre X que arriba, sea
y para p ≥ 1 sea
En esta notación, la desigualdad de Doob como se indicó anteriormente dice
Las siguientes desigualdades también son válidas:
y, para p > 1,
El último de estos a veces se conoce como desigualdad máxima de Doob.
La desigualdad de Doob para martingalas en tiempo discreto implica la desigualdad de Kolmogorov : si X 1 , X 2 , ... es una secuencia de variables aleatorias independientes de valor real , cada una con media cero, está claro que
entonces S n = X 1 + ... + X n es una martingala. Tenga en cuenta que la desigualdad de Jensen implica que | S n | es una submartingala no negativa si S n es una martingala. Por lo tanto, tomando p = 2 en la desigualdad martingala de Doob,
que es precisamente el enunciado de la desigualdad de Kolmogorov.
Sea B el movimiento browniano unidimensional canónico . Luego
La prueba es la siguiente: dado que la función exponencial aumenta monótonamente, para cualquier λ no negativa,
Por la desigualdad de Doob, y dado que el exponencial del movimiento browniano es una submartingala positiva,
Dado que el lado izquierdo no depende de λ , elija λ para minimizar el lado derecho: λ = C / T da la desigualdad deseada.