Doob martingala

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Una martingala de Doob (llamada así por Joseph L. Doob , ^[1] también conocida como martingala de Levy ) en la teoría matemática de la probabilidad , es una construcción de un proceso estocástico que se aproxima a una variable aleatoria dada y tiene la propiedad de la martingala con respecto a la filtración dada. . Puede considerarse como la secuencia evolutiva de las mejores aproximaciones a la variable aleatoria basada en la información acumulada hasta cierto tiempo.

Al analizar sumas, caminatas aleatorias u otras funciones aditivas de variables aleatorias independientes , a menudo se puede aplicar el teorema del límite central , la ley de los grandes números , la desigualdad de Chernoff, la desigualdad de Chebyshev o herramientas similares. Al analizar objetos similares donde las diferencias no son independientes, las principales herramientas son las martingalas y la desigualdad de Azuma . ^{[ aclaración necesaria ]}

Sea cualquier variable aleatoria con . Supongamos que es una filtración , es decir, cuando . Definir${\ estilo de visualización Y}$${\displaystyle \mathbb {E} [|Y|]<\infty}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subconjunto {\mathcal {F}}_{t}}$${\ estilo de visualización s<t}$

entonces es una martingala , ^[2] a saber , Doob martingala , con respecto a la filtración . ${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

En particular, para cualquier secuencia de variables aleatorias en el espacio de probabilidad y función tal que , uno podría elegir ${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\right\}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})}$${\ estilo de visualización f}$${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})|]<\infty}$

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