Doob martingala


Una martingala de Doob (llamada así por Joseph L. Doob , [1] también conocida como martingala de Levy ) en la teoría matemática de la probabilidad , es una construcción de un proceso estocástico que se aproxima a una variable aleatoria dada y tiene la propiedad de la martingala con respecto a la filtración dada. . Puede considerarse como la secuencia evolutiva de las mejores aproximaciones a la variable aleatoria basada en la información acumulada hasta cierto tiempo.

Al analizar sumas, caminatas aleatorias u otras funciones aditivas de variables aleatorias independientes , a menudo se puede aplicar el teorema del límite central , la ley de los grandes números , la desigualdad de Chernoff, la desigualdad de Chebyshev o herramientas similares. Al analizar objetos similares donde las diferencias no son independientes, las principales herramientas son las martingalas y la desigualdad de Azuma . [ aclaración necesaria ]

Sea cualquier variable aleatoria con . Supongamos que es una filtración , es decir, cuando . Definir

entonces es una martingala , [2] a saber , Doob martingala , con respecto a la filtración .

En particular, para cualquier secuencia de variables aleatorias en el espacio de probabilidad y función tal que , uno podría elegir