En la teoría de los procesos estocásticos , una subdisciplina de la teoría de la probabilidad , las filtraciones son conjuntos de subconjuntos totalmente ordenados que se utilizan para modelar la información que está disponible en un punto dado y, por lo tanto, juegan un papel importante en la formalización de procesos aleatorios.
Definición
Dejar ser un espacio de probabilidad y dejarser un conjunto de índices con un orden total (a menudo , , o un subconjunto de ).
Para cada dejar ser una sub- σ -álgebra de. Luego
se llama filtración, si para todos . Entonces, las filtraciones son familias de σ -álgebras que están ordenadas de forma no decreciente. [1] Si es una filtración, entonces se denomina espacio de probabilidad filtrado .
Ejemplo
Dejar ser un proceso estocástico en el espacio de probabilidad. Luego
es un σ -álgebra yes una filtración. Aquí denotes the σ-algebra generated by the random variables .
really is a filtration, since by definition all are σ-algebras and
Tipos de filtraciones
Right-continuous filtration
If is a filtration, then the corresponding right-continuous filtration is defined as[2]
with
The filtration itself is called right-continuous if .[3]
Complete filtration
Let
be the set of all sets that are contained within a -null set.
A filtration is called a complete filtration, if every contains . This is equivalent to being a complete measure space for every
Augmented filtration
A filtration is called an augmented filtration if it is complete and right continuous. For every filtration there exists a smallest augmented filtration refining .
If a filtration is an augmented filtration, it is said to satisfy the usual hypotheses or the usual conditions.[3]
Ver también
Referencias
- ^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 191. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. p. 350-351. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
- ^ a b Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 462. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.