El llamado potencial de doble pozo es uno de varios potenciales cuárticos de considerable interés en la mecánica cuántica , en la teoría cuántica de campos y en otros lugares para la exploración de diversos fenómenos físicos o propiedades matemáticas, ya que permite en muchos casos el cálculo explícito sin excesos. simplificación.
Así, el "potencial simétrico de doble pozo" sirvió durante muchos años como modelo para ilustrar el concepto de instantones como una configuración pseudo-clásica en una teoría de campo euclidiana . [1] En el contexto de la mecánica cuántica más simple, este potencial sirvió como modelo para la evaluación de las integrales de ruta de Feynman . [2] [3] o la solución de la ecuación de Schrödinger por varios métodos con el fin de obtener explícitamente los valores propios de energía.
El "potencial de doble pozo simétrico invertido", por otro lado, sirvió como un potencial no trivial en la ecuación de Schrödinger para el cálculo de tasas de desintegración [4] y la exploración del comportamiento de orden grande de expansiones asintóticas . [5] [6] [7]
La tercera forma del potencial cuártico es la de un "oscilador armónico simple perturbado" o un "oscilador anarmónico puro" que tiene un espectro de energía puramente discreto.
El cuarto tipo de potencial cuártico posible es el de "forma asimétrica" de uno de los dos primeros mencionados anteriormente.
Los potenciales de doble pozo y otros potenciales cuárticos pueden tratarse mediante una variedad de métodos, siendo los métodos principales (a) un método de perturbación (el de B. Dingle y HJW Müller-Kirsten [8] ) que requiere la imposición de condiciones de contorno, (b) el método WKB y (c) el método integral de trayectoria. Todos los casos se tratan en detalle en el libro de HJW Müller-Kirsten. [9] El comportamiento de orden grande de las expansiones asintóticas de las funciones de Mathieu y sus valores propios (también llamados números característicos) se ha derivado en un artículo adicional de RB Dingle y HJW Müller. [10]
El pozo doble simétrico
El principal interés en la literatura se ha centrado (por razones relacionadas con la teoría de campos) en el pozo doble simétrico (potencial), y allí en el estado fundamental de la mecánica cuántica. Dado que se trata de un túnel a través de la joroba central del potencial, el cálculo de las energías propias de la ecuación de Schrödinger para este potencial no es trivial. El caso del estado fundamental está mediado por configuraciones pseudoclásicas conocidas como instanton y anti-instanton. En forma explícita, estas son funciones hiperbólicas. Como configuraciones pseudoclásicas, estas aparecen naturalmente en consideraciones semiclásicas ; la suma de pares instanton-anti-instanton (ampliamente separados) se conoce como aproximación de gas diluido. La energía propia del estado fundamental finalmente obtenida es una expresión que contiene el exponencial de la acción euclidiana del instante. Esta es una expresión que contiene el factor y, por lo tanto, se describe como un efecto (clásicamente) no perturbador.
La estabilidad de la configuración de instanton en la teoría integral de trayectoria de una teoría de campo escalar con auto-interacción simétrica de doble pozo se investiga utilizando la ecuación de pequeñas oscilaciones sobre el instanton. Uno encuentra que esta ecuación es una ecuación de Pöschl-Teller (es decir, una ecuación diferencial de segundo orden como la ecuación de Schrödinger con potencial de Pöschl-Teller ) con valores propios no negativos. La no negatividad de los valores propios es indicativa de la estabilidad del instante. [11]
Como se indicó anteriormente, el instanton es la configuración de pseudopartículas definida en una línea infinita de tiempo euclidiano que se comunica entre los dos pozos del potencial y es responsable del estado fundamental del sistema. Las configuraciones correspondientes responsables de estados superiores, es decir, excitados, son instantones periódicos definidos en un círculo de tiempo euclidiano que en forma explícita se expresan en términos de funciones elípticas jacobianas (la generalización de funciones trigonométricas). La evaluación de la integral de trayectoria en estos casos implica integrales correspondientemente elípticas. La ecuación de pequeñas fluctuaciones sobre estos instantones periódicos es una ecuación de Lamé cuyas soluciones son funciones de Lamé . En casos de inestabilidad (como para el potencial de doble pozo invertido) esta ecuación posee valores propios negativos indicativos de esta inestabilidad, es decir, decaimiento. [11]
La aplicación del método de perturbación de Dingle y Müller (aplicado originalmente a la ecuación de Mathieu, es decir, una ecuación de Schrödinger con potencial coseno) requiere la explotación de simetrías de parámetros de la ecuación de Schrödinger para el potencial cuártico. Uno se expande alrededor de uno de los dos mínimos del potencial. Además, este método requiere emparejar diferentes ramas de soluciones en dominios de superposición. La aplicación de condiciones de contorno finalmente produce (como en el caso del potencial periódico) el efecto no perturbativo.
En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial simétrico de doble pozo en la siguiente forma
los valores propios para se encuentran (véase el libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.175b), p. 425)
Claramente, estos valores propios son asintóticamente () degeneran como se esperaba de la parte armónica del potencial. Observe que los términos de la parte perturbativa del resultado son alternativamente pares o impares en y (como en resultados para correspondientes funciones Mathieu , funciones de Lamé , funciones de onda esferoidales alargados , funciones de onda esferoidales achatados y otros).
En contextos de teoría de campo, el potencial de doble pozo simétrico anterior a menudo se escribe ( siendo un campo escalar)
y el instanton es la solucion de la ecuación de Newton
( siendo el tiempo euclidiano), es decir
La ecuación de pequeñas fluctuaciones. acerca de es la ecuación de Pöschl-Teller (ver potencial de Pöschl-Teller )
con
Dado que todos los valores propios son positivos o cero, la configuración instanton es estable y no hay decaimiento.
En el caso más general de la solución clásica es el instante periódico
dónde es el módulo elíptico de la función elíptica jacobiana periódica . La ecuación de pequeña fluctuación es en este caso general una ecuación de Lamé . En el limite la solución se convierte en la solución instantánea al vacío,
El potencial de doble pozo invertido
La teoría de la perturbación junto con el emparejamiento de soluciones en los dominios de superposición y la imposición de condiciones de contorno (diferentes de las del doble pozo) se puede utilizar nuevamente para obtener los valores propios de la ecuación de Schrödinger para este potencial. En este caso, sin embargo, uno se expande alrededor de la depresión central del potencial. Por tanto, los resultados son diferentes a los anteriores.
En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial de doble pozo invertido en la siguiente forma
los valores propios para se encuentran (véase el libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.86), p. 503)
La parte imaginaria de esta expresión concuerda con el resultado de CM Bender y TT Wu (ver su fórmula (3.36) y establecer , y en su notación ). [12] Este resultado juega un papel importante en la discusión e investigación del comportamiento de orden grande de la teoría de la perturbación.
El oscilador anarmónico puro
En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el oscilador anarmónico puro en la siguiente forma
los valores propios para se encuentran para ser
Se pueden calcular fácilmente más términos. Observe que los coeficientes de expansión son alternativamente pares o impares en y , como en todos los demás casos. Este es un aspecto importante de las soluciones de la ecuación diferencial para potenciales cuárticos.
Comentarios generales
Los resultados anteriores para el pozo doble y el pozo doble invertido también se pueden obtener mediante el método de integral de trayectoria (allí a través de instantons periódicos, cf. instantons ) y el método WKB, aunque con el uso de integrales elípticas y la aproximación de Stirling. de la función gamma , todo lo cual dificulta el cálculo. La propiedad de simetría de la parte perturbativa en cambios q → - q , → -de los resultados solo se puede obtener en la derivación de la ecuación de Schrödinger, que es por tanto la mejor y más correcta forma de obtener el resultado. Esta conclusión está respaldada por investigaciones de otras ecuaciones diferenciales de segundo orden como la ecuación de Mathieu y la ecuación de Lamé que exhiben propiedades similares en sus ecuaciones de valor propio. Además, en cada uno de estos casos (pozo doble, pozo doble invertido, potencial coseno) la ecuación de pequeñas fluctuaciones sobre la configuración clásica es una ecuación de Lamé.
Referencias
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