En matemáticas aplicadas, las funciones de onda esferoidales oblatas (como también las funciones de onda esferoidales prolongadas y otras funciones relacionadas [1] ) están involucradas en la solución de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas . Al resolver esta ecuación,, por el método de separación de variables, , con:
la solución se puede escribir como el producto de una función de onda esferoidal radial y una función de onda esferoidal angular por . Aquí, con siendo la longitud interfocal de la sección transversal elíptica del esferoide achatado .
La función de onda radial satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal :
- .
La función de onda angular satisface la ecuación diferencial:
- .
Es la misma ecuación diferencial que en el caso de la función de onda radial. Sin embargo, el rango de la coordenada radial es diferente a la de la coordenada angular .
El valor propio de este problema de Sturm-Liouville se soluciona mediante el requisito de que ser finito para .
Para estas dos ecuaciones diferenciales se reducen a las ecuaciones satisfechas por los polinomios de Legendre asociados . Para, las funciones de onda esferoidal angular se pueden ampliar como una serie de funciones de Legendre. Müller ha considerado estas ampliaciones. [2]
Las ecuaciones diferenciales dadas anteriormente para las funciones de onda oblatas radiales y angulares se pueden obtener a partir de las ecuaciones correspondientes para las funciones de onda esferoidales prolongadas mediante la sustitución de por y por . La notación para las funciones esferoidales oblatas refleja esta relación.
Existen diferentes esquemas de normalización para funciones esferoidales. Se puede encontrar una tabla de los diferentes esquemas en Abramowitz y Stegun. [3] Abramowitz y Stegun (y el presente artículo) siguen la notación de Flammer. [4]
Originalmente, las funciones de onda esferoidales fueron introducidas por C. Niven, [5] que conducen a una ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales. Strutt, [6] Stratton et al., [7] Meixner y Schafke, [8] y Flammer escribieron monografías que unían muchos aspectos de la teoría de las funciones de onda esferoidales . [4]
Flammer [4] proporcionó una discusión exhaustiva del cálculo de los valores propios, funciones de onda angulares y funciones de onda radiales tanto para el caso oblato como para el prolato. Muchos programas de computadora para este propósito han sido desarrollados por muchos, incluyendo Van Buren et al., [9] King y Van Buren, [10] Baier et al., [11] Zhang y Jin, [12] y Thompson. [13] Van Buren ha desarrollado recientemente nuevos métodos para calcular funciones de ondas esferoidales oblatas que amplían la capacidad de obtener valores numéricos a rangos de parámetros extremadamente amplios. Estos resultados se basan en trabajos anteriores sobre funciones de ondas esferoidales prolongadas. [14] [15] El código fuente de Fortran que combina los nuevos resultados con los métodos tradicionales está disponible en http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .
En Flammer, [4] Hanish et al., [16] [17] [18] y Van Buren et al. Se proporcionan tablas de valores numéricos de funciones de onda esferoidales achatadas . [19]
Expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales oblatas angulares para valores grandes de Müller., [20] también de manera similar para funciones de onda esferoidales alargadas. [21]
La Biblioteca digital de funciones matemáticas http://dlmf.nist.gov proporcionada por NIST es un excelente recurso para las funciones de onda esferoidales.
Referencias
- ^ FM Arscott, Ecuaciones diferenciales periódicas , Pergamon Press (1964).
- ^ HJW Müller, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mech. 44 (1964) 371-374, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mech. 45 (1965) 29-36.
- ^ . M. Abramowitz e I. Stegun. Manual de funciones matemáticas págs. 751-759 (Dover, Nueva York, 1972)
- ^ a b c d C. Flammer. Funciones de ondas esferoidales Stanford University Press, Stanford, CA, 1957
- ^ C. Niven sobre la conducción de calor en elipsoides de revolución. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres, 171 p. 117 (1880)
- ^ MJO Strutt. Lamesche, Mathieusche y Verdandte Funktionen en Physik und Technik Ergebn. Matemáticas. u. Grenzeb, 1 , págs. 199-323, 1932
- ^ JA Stratton, PM Morse, JL Chu y FJ Corbató. Funciones de ondas esferoidales Wiley, Nueva York, 1956
- ^ J. Meixner y FW Schafke. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen Springer-Verlag, Berlín, 1954
- ^ AL Van Buren, RV Baier y S Hanish Un programa de computadora de Fortran para calcular las funciones radiales esferoidales achatadas de primer y segundo tipo y sus primeras derivadas. (1970)
- ^ BJ King y AL Van Buren Un programa de computadora de Fortran para calcular las funciones de ángulos esferoidales alargados y oblatos del primer tipo y sus derivadas primera y segunda. (1970)
- ^ RV Baier, AL Van Buren, S. Hanish, BJ King - Funciones de onda esferoidales: su uso y evaluación The Journal of the Acoustical Society of America, 48 , págs. 102-102 (1970)
- ^ S. Zhang y J. Jin. Cálculo de funciones especiales , Wiley, Nueva York, 1996
- ^ Funciones de onda esferoidal de WJ Thomson Archivado el 16 de febrero de 2010 en Wayback Machine Computing in Science & Engineering p. 84, mayo-junio de 1999
- ^ AL Van Buren y JE Boisvert. Cálculo preciso de funciones radiales esferoidales prolate del primer tipo y sus primeras derivadas , Quarterly of Applied Mathematics 60 , págs. 589-599, 2002
- ^ AL Van Buren y JE Boisvert. Cálculo mejorado de funciones radiales esferoidales prolate del segundo tipo y sus primeras derivadas , Quarterly of Applied Mathematics 62 , págs. 493-507, 2004
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidal radial, volumen 4, achatado, m = 0 (1970)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidal radial, volumen 5, achatado, m = 1 (1970)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidal radial, volumen 6, achatado, m = 2 (1970)
- ^ AL Van Buren, BJ King, RV Baier y S. Hanish. Tablas de funciones de ondas esferoidales angulares, vol. 2, achatado, m = 0 , Laboratorio de Investigación Naval. Publicación, Gobierno de EE. UU. Imprenta, 1975
- ^ HJW Müller, Expansiones asintóticas de funciones de ondas esferoidales oblatas y sus números característicos , J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 33 - 47
- ^ HJW Müller, Expansiones asintóticas de funciones de onda esperoidal prolate y sus números característicos , J. reine angw. Matemáticas. 212 (1963) 26 - 48
enlaces externos
- Funciones de onda esferoidal de MathWorld
- Función de onda esferoidal prolada de MathWorld
- Función de onda esferoidal oblata de MathWorld