En matemáticas , una función doblemente periódica es una función definida en el plano complejo y que tiene dos "períodos", que son números complejos u y v que son linealmente independientes como vectores más de la campo de los números reales . Que u y v son períodos de una función ƒ significa que
La función doblemente periódica es, por tanto, una extensión bidimensional de la función periódica simple más simple , que se repite en una sola dimensión. Ejemplos familiares de funciones con un solo período en la recta numérica real incluyen funciones trigonométricas como coseno y seno. En el plano complejo, la función exponencial e z es una función periódica simple, con período 2 πi .
Como un mapeo arbitrario de pares de reales (o números complejos) a reales, se puede construir una función doblemente periódica con poco esfuerzo. Por ejemplo, suponga que los períodos son 1 e i , de modo que el retículo repetido es el conjunto de cuadrados unitarios con vértices en los enteros gaussianos . Los valores en el cuadrado prototipo (es decir, x + iy donde 0 ≤ x <1 y 0 ≤ y <1) pueden asignarse de manera bastante arbitraria y luego 'copiarse' a los cuadrados adyacentes. Esta función será entonces necesariamente doblemente periódica.
Si los vectores 1 e i en este ejemplo se reemplazan por vectores linealmente independientes u y v , el cuadrado prototipo se convierte en un paralelogramo prototipo que todavía divide el plano . El "origen" de la red de paralelogramos no tiene por qué ser el punto 0: la red puede empezar desde cualquier punto. En otras palabras, podemos pensar en el plano y sus valores funcionales asociados como si permanecieran fijos, y traducir mentalmente el enrejado para comprender mejor las características de la función.
Si una función doblemente periódica también es una función compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y proporciona una función analítica alejada de algún conjunto de polos aislados , en otras palabras, una función meromórfica , entonces se puede obtener mucha información sobre dicha función. aplicando algunos teoremas básicos del análisis complejo.