Aplicaciones de cuaterniones duales a la geometría 2D

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En este artículo, discutimos ciertas aplicaciones del álgebra de cuaterniones duales a la geometría 2D. En este momento, el artículo se centra en una subálgebra de 4 dimensiones de los cuaterniones duales que llamaremos cuaterniones planos .

Los cuaterniones planos forman un álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales . ^{[1] [2]} Su principal aplicación es la representación de movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 2D.

A diferencia de la multiplicación de números duales o de números complejos , la de cuaterniones planares no es conmutativa .

En este artículo se denota el conjunto de cuaterniones planos . Un elemento general de tiene la forma donde , y son números reales; es un número dual que cuadra a cero; y , y son los elementos básicos estándar de los cuaterniones .${\ estilo de visualización \ mathbb {DC}}$${\ estilo de visualización q}$${\ estilo de visualización \ mathbb {DC}}$${\ estilo de texto A + Bi + C \ varepsilon j + D \ varepsilon k}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización B}$${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización D}$${\ estilo de visualización \ varepsilon}$${\ estilo de visualización i}$${\ estilo de visualización j}$${\ estilo de visualización k}$

La multiplicación se realiza de la misma forma que con los cuaterniones, pero con la regla adicional de que es nilpotente de índice , es decir, , que en algunas circunstancias hace comparable a un número infinitesimal . De ello se deduce que los inversos multiplicativos de los cuaterniones planos están dados por${\ estilo de texto \ varepsilon}$${\ estilo de visualización 2}$${\ estilo de texto \ varepsilon ^ {2} = 0}$${\ estilo de texto \ varepsilon}$

El conjunto forma una base del espacio vectorial de cuaterniones planos, donde los escalares son números reales.${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$

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