En matemáticas , los cuaterniones duales son un álgebra real de 8 dimensiones isomorfa al producto tensorial de los cuaterniones y los números duales . Por lo tanto, pueden construirse de la misma manera que los cuaterniones, excepto que se utilizan números duales en lugar de números reales como coeficientes. Un cuaternión dual se puede representar en la forma A + ε B , donde A y B son cuaterniones ordinarios y ε es la unidad dual, que satisface ε 2 = 0y conmuta con cada elemento del álgebra. A diferencia de los cuaterniones, los cuaterniones duales no forman un álgebra de división .
En mecánica , los cuaterniones duales se aplican como un sistema numérico para representar transformaciones rígidas en tres dimensiones. [1] Dado que el espacio de los cuaterniones duales es de 8 dimensiones y una transformación rígida tiene seis grados reales de libertad, tres para traslaciones y tres para rotaciones, en esta aplicación se utilizan cuaterniones duales que obedecen a dos restricciones algebraicas.
De manera similar a la forma en que las rotaciones en el espacio 3D se pueden representar mediante cuaterniones de longitud unitaria, los movimientos rígidos en el espacio 3D se pueden representar mediante cuaterniones duales de longitud unitaria. Este hecho se utiliza en cinemática teórica (véase McCarthy [2] ) y en aplicaciones de gráficos por ordenador en 3D , robótica y visión por ordenador . [3]
Historia
WR Hamilton introdujo cuaterniones [4] [5] en 1843, y en 1873 WK Clifford obtuvo una amplia generalización de estos números que llamó biquaternions , [6] [7] que es un ejemplo de lo que ahora se llama álgebra de Clifford . [2]
En 1898, Alexander McAulay usó Ω con Ω 2 = 0 para generar el álgebra de cuaternión dual. [8] Sin embargo, su terminología de "octoniones" no se mantuvo, ya que los octoniones de hoy son otro álgebra.
En Rusia, Aleksandr Kotelnikov [9] desarrolló vectores duales y cuaterniones duales para su uso en el estudio de la mecánica.
En 1891 Eduard Study se dio cuenta de que este álgebra asociativa era ideal para describir el grupo de movimientos del espacio tridimensional . Desarrolló aún más la idea en Geometrie der Dynamen en 1901. [10] BL van der Waerden llamó a la estructura "Estudiar biquaternions", una de las tres álgebras de ocho dimensiones denominadas biquaternions .
Fórmulas
Para describir operaciones con cuaterniones duales, es útil considerar primero los cuaterniones . [11]
Un cuaternión es una combinación lineal de los elementos básicos 1, i , j y k . La regla del producto de Hamilton para i , j y k a menudo se escribe como
Calcule i ( ijk ) = - jk = - i , para obtener jk = i , y ( ijk ) k = - ij = - k o ij = k . Ahora, como j ( jk ) = ji = - k , vemos que este producto produce ij = - ji , que vincula los cuaterniones con las propiedades de los determinantes.
Una forma conveniente de trabajar con el producto del cuaternión es escribir un cuaternión como la suma de un escalar y un vector, es decir A = a 0 + A , donde a 0 es un número real y A = A 1 i + A 2 j + A 3 k es un vector tridimensional. El punto vectorial y las operaciones cruzadas ahora se pueden usar para definir el producto de cuaterniones de A = a 0 + A y C = c 0 + C como
Un cuaternión dual se suele describir como un cuaternión con números duales como coeficientes. Un número dual es un par ordenado â = ( a , b ) . Dos números duales se suman por componentes y se multiplican por la regla â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Los números duales a menudo se escriben en la forma â = a + ε b , donde ε es la unidad dual que conmuta con i , j , k y tiene la propiedad ε 2 = 0 .
El resultado es que un cuaternión dual se puede escribir como un par ordenado de cuaterniones ( A , B ) . Dos cuaterniones duales se suman por componentes y se multiplican por la regla,
Es conveniente escribir un cuaternión dual como la suma de un escalar dual y un vector dual, Â = â 0 + A , donde â 0 = ( a , b ) y A = ( A , B ) es el vector dual que define un tornillo . Esta notación nos permite escribir el producto de dos cuaterniones duales como
Adición
La adición de cuaterniones duales se define por componentes de modo que, dado,
y
luego
Multiplicación
La multiplicación de dos cuaterniones duales se sigue de las reglas de multiplicación para las unidades de cuaterniones i, j, k y la multiplicación conmutativa por la unidad dual ε. En particular, dado
y
luego
Observe que no existe un término BD , porque la definición de números duales requiere que ε 2 = 0 .
Esto nos da la tabla de multiplicar (tenga en cuenta que el orden de multiplicación es la columna por fila):
(Fila x Columna) | 1 | I | j | k | ε | ε yo | ε j | ε k |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | I | j | k | ε | ε yo | ε j | ε k |
I | I | −1 | k | - j | ε yo | −ε | ε k | −ε j |
j | j | - k | −1 | I | ε j | −ε k | −ε | ε yo |
k | k | j | - i | −1 | ε k | ε j | −ε yo | −ε |
ε | ε | ε yo | ε j | ε k | 0 | 0 | 0 | 0 |
ε yo | ε yo | −ε | ε k | −ε j | 0 | 0 | 0 | 0 |
ε j | ε j | −ε k | −ε | ε yo | 0 | 0 | 0 | 0 |
ε k | ε k | ε j | −ε yo | −ε | 0 | 0 | 0 | 0 |
Conjugado
El conjugado de un cuaternión dual es la extensión del conjugado de un cuaternión, es decir
Al igual que con los cuaterniones, el conjugado del producto de los cuaterniones duales, Ĝ = ÂĈ , es el producto de sus conjugados en orden inverso,
Es útil introducir las funciones Sc (∗) y Vec (∗) que seleccionan las partes escalar y vectorial de un cuaternión, o las partes escalar dual y vectorial dual de un cuaternión dual. En particular, si  = â 0 + A , entonces
Esto permite la definición del conjugado de  como
o,
El producto de un cuaternión dual con su conjugado produce
Este es un escalar dual que es la magnitud al cuadrado del cuaternión dual.
Conjugado de doble número
Un segundo tipo de conjugado de un cuaternión dual se da tomando el conjugado de número dual, dado por
Los conjugados de cuaternión y número dual se pueden combinar en una tercera forma de conjugado dada por
En el contexto de los cuaterniones duales, el término "conjugado" puede usarse para significar el conjugado de cuaterniones, el conjugado de números duales o ambos.
Norma
La norma de un cuaternión dual | Â | se calcula usando el conjugado para calcular | Â | = √ Â Â * . Este es un número dual llamado magnitud del cuaternión dual. Cuaterniones duales con | Â | = 1 son cuaterniones dobles unitarios .
Los cuaterniones duales de magnitud 1 se utilizan para representar los desplazamientos euclidianos espaciales. Observe que el requisito de que   * = 1 , introduce dos restricciones algebraicas en los componentes de  , es decir
Inverso
Si p + ε q es un cuaternión dual, y p no es cero, entonces el cuaternión dual inverso viene dado por
- p −1 (1 - ε q p −1 ).
Por tanto, los elementos del subespacio {ε q: q ∈ H} no tienen inversas. Este subespacio se denomina ideal en teoría de anillos. Resulta ser el ideal máximo único del anillo de números duales.
El grupo de unidades del anillo numérico dual consta entonces de números que no están en el ideal. Los números duales forman un anillo local ya que existe un ideal máximo único. El grupo de unidades es un grupo de Lie y se puede estudiar mediante el mapeo exponencial . Se han utilizado cuaterniones duales para exhibir transformaciones en el grupo euclidiano . Un elemento típico se puede escribir como una transformación de tornillo .
Cuaterniones duales y desplazamientos espaciales
Un beneficio de la formulación de cuaternión dual de la composición de dos desplazamientos espaciales D B = ([ R B ], b ) y D A = ([ R A ], a ) es que el cuaternión dual resultante produce directamente el eje del tornillo y el doble ángulo del desplazamiento compuesto D C = D B D A .
En general, el cuaternión dual asociado con un desplazamiento espacial D = ([ A ], d ) se construye a partir de su eje de tornillo S = ( S , V ) y el ángulo dual ( φ , d ) donde φ es la rotación alrededor yd la corredera a lo largo de este eje, que define el desplazamiento D . El cuaternión dual asociado viene dado por,
Deje que la composición del desplazamiento D B con D A sea el desplazamiento D C = D B D A . El eje del tornillo y el ángulo dual de D C se obtienen del producto de los cuaterniones duales de D A y D B , dado por
Es decir, el desplazamiento compuesto D C = D B D A tiene el cuaternión dual asociado dado por
Expanda este producto para obtener
Divide ambos lados de esta ecuación por la identidad
para obtener
Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje de tornillo de un desplazamiento compuesto definido en términos de los ejes de tornillo de los dos desplazamientos. Derivó esta fórmula en 1840. [12]
Los tres ejes de tornillo A, B y C forman un triángulo espacial y los ángulos duales en estos vértices entre las normales comunes que forman los lados de este triángulo están directamente relacionados con los ángulos duales de los tres desplazamientos espaciales.
Forma matricial de multiplicación de cuaterniones duales
La representación matricial del producto de cuaterniones es conveniente para programar cálculos de cuaterniones utilizando álgebra matricial, lo que también es válido para operaciones de cuaterniones duales.
El producto del cuaternión AC es una transformación lineal por parte del operador A de los componentes del cuaternión C, por lo tanto, existe una representación matricial de A que opera sobre el vector formado a partir de los componentes de C.
Reúna los componentes del cuaternión C = c 0 + C en la matriz C = (C 1 , C 2 , C 3 , c 0 ) . Observe que los componentes de la parte vectorial del cuaternión se enumeran primero y el escalar se enumera en último lugar. Esta es una elección arbitraria, pero una vez que se selecciona esta convención, debemos cumplirla.
El producto de cuaternión AC ahora se puede representar como el producto de matriz.
El producto AC también puede verse como una operación de C en los componentes de A, en cuyo caso tenemos
El producto de cuaternión dual ÂĈ = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC) se puede formular como una operación matricial de la siguiente manera. Reúna los componentes de Ĉ en la matriz de ocho dimensiones Ĉ = (C 1 , C 2 , C 3 , c 0 , D 1 , D 2 , D 3 , d 0 ), luego ÂĈ viene dado por el producto de la matriz 8x8
Como vimos para los cuaterniones, el producto ÂĈ se puede ver como la operación de Ĉ en el vector de coordenadas Â, lo que significa que ÂĈ también se puede formular como,
Más sobre desplazamientos espaciales
El cuaternión dual de un desplazamiento D = ([A], d ) se puede construir a partir del cuaternión S = cos (φ / 2) + sin (φ / 2) S que define la rotación [A] y el cuaternión vectorial construido a partir de el vector de traslación d , dado por D = d 1 i + d 2 j + d 3 k. Usando esta notación, el cuaternión dual para el desplazamiento D = ([A], d ) viene dado por
Sean las coordenadas de Plücker de una línea en la dirección x que pasa por un punto p en un cuerpo en movimiento y sus coordenadas en el marco fijo que está en la dirección X que pasa por el punto P ,
Luego, el cuaternión dual del desplazamiento de este cuerpo transforma las coordenadas de Plücker en el marco móvil en coordenadas de Plücker en el marco fijo mediante la fórmula
Usando la forma matricial del producto de cuaternión dual, esto se convierte en,
Este cálculo se gestiona fácilmente mediante operaciones matriciales.
Cuaterniones duales y transformaciones homogéneas 4 × 4
Podría ser útil, especialmente en el movimiento de cuerpos rígidos, representar los cuaterniones duales unitarios como matrices homogéneas . Como se indicó anteriormente, un cuaternión dual se puede escribir como:donde r y d son ambos cuaterniones. El cuaternión r se conoce como parte real o rotacional y el El cuaternión se conoce como parte dual o de desplazamiento.
La parte de rotación puede estar dada por
dónde es el ángulo de rotación con respecto a la dirección dada por el vector unitario . La parte de desplazamiento se puede escribir como
- .
El equivalente de cuaternión dual de un vector 3D es
y su transformación por viene dado por [13]
- .
Estos cuaterniones duales (o en realidad sus transformaciones en vectores 3D) se pueden representar mediante la matriz de transformación homogénea
donde la matriz ortogonal de 3 × 3 viene dada por
Para el vector 3D
la transformación por T viene dada por
Conexión con las álgebras de Clifford
Además de ser el producto tensorial de dos álgebras de Clifford, los cuaterniones y los números duales , los cuaterniones duales tienen otras dos formulaciones en términos de álgebras de Clifford.
Primero, los cuaterniones duales son isomorfos al álgebra de Clifford generada por 3 elementos anticonmutación, , con y . Si definimos y , entonces las relaciones que definen los cuaterniones duales están implicadas por estos y viceversa. En segundo lugar, los cuaterniones duales son isomorfos a la parte par del álgebra de Clifford generada por 4 elementos anticonmutación con
Para obtener más información, consulte Álgebras de Clifford: cuaterniones duales .
Epónimos
Dado que tanto Eduard Study como William Kingdon Clifford usaron y escribieron sobre cuaterniones duales, a veces los autores se refieren a los cuaterniones duales como "Biquaternions de estudio" o "Biquaternions de Clifford". Este último epónimo también se ha utilizado para referirse a biquaternions divididos . Lea el artículo de Joe Rooney vinculado a continuación para ver un partidario de la afirmación de WK Clifford. Dado que las afirmaciones de Clifford y Study están en disputa, es conveniente utilizar la designación actual de cuaternión dual para evitar conflictos.
Ver también
- Teoría del tornillo
- Movimiento racional
- Cuaterniones y rotación espacial
- Conversión entre cuaterniones y ángulos de Euler
- Olinde Rodrigues
- Número complejo dual
Referencias
Notas
- ^ AT Yang, Aplicación del álgebra cuaterniónica y números duales al análisis de mecanismos espaciales , tesis de doctorado, Universidad de Columbia, 1963.
- ^ a b J. M. McCarthy, Introducción a la cinemática teórica , págs. 62-5, MIT Press 1990.
- ^ A. Torsello, E. Rodolà y A. Albarelli, Registro de vista múltiple mediante difusión gráfica de cuaterniones duales , Proc. de la XXIV Conferencia IEEE sobre Visión por Computador y Reconocimiento de Patrones, págs. 2441-2448, junio de 2011.
- ^ WR Hamilton, "Sobre los cuaterniones o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra", Phil. revista 18, cuotas de julio de 1844 a abril de 1850, ed. de DE Wilkins (2000)
- ^ WR Hamilton, Elementos de cuaterniones, Longmans, Green & Co., Londres, 1866
- ^ WK Clifford, "Esbozo preliminar de bi-cuaterniones, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381-395
- ^ WK Clifford, Papeles matemáticos , (ed. R. Tucker), Londres: Macmillan, 1882.
- ^ Alexander McAulay (1898) Octonions: un desarrollo de Biquaternions de Clifford , enlace de Internet Archive
- ^ AP Kotelnikov (1895) Cálculo de tornillos y algunas aplicaciones a la geometría y la mecánica , Annal. Diablillo. Univ. Kazán
- ^ Estudio de Eduard (1901) Geometrie der Dynamen , Teubner, Leipzig
- ^ O. Bottema y B. Roth, Cinemática teórica , North Holland Publ. Co., 1979
- ^ Rodrigues, O. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la variación des coordonnées provenant de ses déplacements considérés indépendamment des cause qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
- ^ Cuaterniones duales para fusión de transformación rígida , p. 4.
Fuentes
- AT Yang (1963) Aplicación del álgebra de cuaterniones y números duales al análisis de mecanismos espaciales , tesis doctoral, Universidad de Columbia .
- AT Yang (1974) "Cálculo de tornillos" en Preguntas básicas de la teoría del diseño , William R. Spillers, editor, Elsevier , páginas 266 a 281.
- JM McCarthy (1990) Una introducción a la cinemática teórica , págs. 62-5, MIT Press ISBN 0-262-13252-4 .
- L. Kavan, S. Collins, C. O'Sullivan, J. Zara (2006) Dual Quaternions for Rigid Transformation Blending , Informe técnico, Trinity College Dublin.
- Joe Rooney William Kingdon Clifford , Departamento de Diseño e Innovación, Open University, Londres.
- Joe Rooney (2007) "William Kingdon Clifford", en Marco Ceccarelli, Figuras distinguidas en mecánica y ciencia de máquinas , Springer.
- Eduard Study (1891) "Von Bewegungen und Umlegung", Mathematische Annalen 39: 520.
Otras lecturas
- Ian Fischer (1998). Métodos de número dual en cinemática, estática y dinámica . Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-9115-6.
- E. Pennestri y R. Stefanelli (2007) Álgebra lineal y algoritmos numéricos que utilizan números duales, publicado en Multibody System Dynamics 18 (3): 323–349.
- E. Pennestri y PP Valentini, Cuaterniones duales como herramienta para el análisis del movimiento del cuerpo rígido: un tutorial con una aplicación a la biomecánica , ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , vol. 57, págs. 187–205, 2010
- E. Pennestri y PP Valentini, Algoritmos lineales de álgebra dual y su aplicación a la cinemática , Dinámica multicuerpo , octubre de 2008, págs. 207–229, doi : 10.1007 / 978-1-4020-8829-2_11
- DP Chevallier (1996) "Sobre el principio de transferencia en cinemática: sus diversas formas y limitaciones", Mecanismo y teoría de la máquina 31 (1): 57-76.
- MA Gungor (2009) "Movimientos esféricos duales de Lorentz y fórmulas duales de Euler-Savary", European Journal of Mechanics A Solids 28 (4): 820–6.
- LFC Figueredo y BV Adorno y JY Ishihara y GA Borges (2013) "Control cinemático robusto de robots manipuladores usando representación de cuaternión dual", "{2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation", doi : 10.1109 / ICRA.2013.6630836
enlaces externos
- Wilhelm Blaschke (1958) traductor DH Delphenich, "Aplicaciones de los cuaterniones duales a la cinemática"
- Wilhelm Blaschke (1960) DH Delphenich traductor, Cuaterniones y cinemática de Neo-classical-physics.info.
- Cuaterniones duales, una guía para principiantes sobre cuaterniones duales Ben Kenwright
- Cuaterniones duales: de la mecánica clásica a los gráficos por computadora y más allá de Ben Kenwright
- Modelado y control cinemático de robots basado en álgebra de cuaternión dual Bruno Vilhena Adorno