En la teoría de la probabilidad , el teorema de Dudley es un resultado que relaciona el límite superior esperado y las propiedades de regularidad de un proceso gaussiano con su estructura de entropía y covarianza .
Historia
El resultado fue declarado y probado por primera vez por VN Sudakov, como señaló en un artículo de Dudley , "El trabajo de VN Sudakov sobre el supremo esperado de los procesos gaussianos", en High Dimensional Probability VII , Eds. C. Houdré, DM Mason, P. Reynaud-Bouret y Jan Rosiński, Birkhăuser, Springer, Progress in Probability 71 , 2016, págs. 37–43. Dudley le había dado crédito a Volker Strassen por hacer la conexión entre la entropía y la regularidad.
Declaración
Sea ( X t ) t ∈ T un proceso gaussiano y sea d X la pseudométrica en T definida por
Para ε > 0, denotamos por N ( T , d X ; ε ) el número de la entropía , es decir, el número mínimo de (abierto) d X -balls de radio ε requiere para cubrir T . Luego
Además, si la integral de entropía en el lado derecho converge, entonces X tiene una versión con casi toda la ruta de muestra acotada y (uniformemente) continua en ( T , d X ).
Referencias
- Dudley, Richard M. (1967). "Los tamaños de los subconjuntos compactos del espacio de Hilbert y la continuidad de los procesos gaussianos". Revista de análisis funcional . 1 : 290–330. doi : 10.1016 / 0022-1236 (67) 90017-1 . Señor 0220340 .
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. Señor 1102015 . (Ver capítulo 11)