En matemáticas , un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico , todo espacio seminorizado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología ) se usa a veces como sinónimo, especialmente en el análisis funcional .
Cuando se genera una topología utilizando una familia de pseudometría, el espacio se denomina espacio de indicador .
Definición
Un espacio pseudométrico es un conjunto junto con una función de valor real no negativa (llamado pseudométrico ) de modo que, para cada,
- .
- ( simetría )
- ( subaditividad / desigualdad triangular )
A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan ser distinguibles ; es decir, uno puede tener para valores distintos .
Ejemplos de
- La pseudometría surge naturalmente en el análisis funcional . Considere el espacio de funciones de valor real junto con un punto especial . Este punto entonces induce una pseudometría en el espacio de funciones, dada por
- por
- Para espacios vectoriales , un seminario induce una pseudometría en , como
- Por el contrario, una pseudométrica homogénea invariante en la traducción induce una seminorma.
- La pseudometría también surge en la teoría de variedades complejas hiperbólicas : ver métrica de Kobayashi .
- Cada espacio de medida puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo
- para todos , donde el triángulo denota diferencia simétrica .
- Si es una función y d 2 es una pseudometría en X 2 , entoncesda una pseudometría en X 1 . Si d 2 es una métrica y f es inyectiva , entonces d 1 es una métrica.
Topología
La topología pseudométrica es la topología generada por las bolas abiertas
que forman una base para la topología. [1] Se dice que un espacio topológico es un espacio pseudometrizable [2] si al espacio se le puede dar una pseudométrica tal que la topología pseudométrica coincida con la topología dada en el espacio.
La diferencia entre pseudometría y métrica es completamente topológica. Es decir, una pseudometría es una métrica si y solo si la topología que genera es T 0 (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles).
Las definiciones de secuencias de Cauchy y finalización métrica para espacios métricos se transfieren a los espacios pseudométricos sin cambios. [3]
Identificación métrica
La desaparición de la pseudometría induce una relación de equivalencia , llamada identificación métrica , que convierte el espacio pseudométrico en un espacio métrico completo . Esto se hace definiendo Si . Dejarser el espacio cociente de X por esta relación de equivalencia y definir
Luego es una métrica en y es un espacio métrico bien definido, llamado espacio métrico inducido por el espacio pseudométrico . [4] [5]
La identificación métrica conserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto está abierto (o cerrado) en si y solo si está abierto (o cerrado) en y A está saturado. La identificación topológica es el cociente de Kolmogorov .
Un ejemplo de esta construcción es la finalización de un espacio métrico mediante sus secuencias de Cauchy .
Ver también
Notas
- ^ "Topología pseudométrica" . PlanetMath .
- ^ Willard, pág. 23
- ^ Cain, George (verano de 2000). "Capítulo 7: Espacios pseudométricos completos" (PDF) . Archivado desde el original el 7 de octubre de 2020 . Consultado el 7 de octubre de 2020 .
- ^ Howes, Norman R. (1995). Topología y análisis moderno . Nueva York, NY: Springer. pag. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012 .
Dejar ser un espacio pseudo-métrico y definir una relación de equivalencia en por Si . Dejar ser el espacio del cociente y la proyección canónica que mapea cada punto de en la clase de equivalencia que lo contiene. Definir la métrica en por para cada par . Se muestra fácilmente que es de hecho una métrica y define la topología del cociente en .
- ^ Simon, Barry (2015). Un curso completo de análisis . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-1470410995.
Referencias
- Arkhangel'skii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología General I: Conceptos Básicos y Construcciones Teoría de Dimensiones . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. Springer . ISBN 3-540-18178-4.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Contraejemplos en topología (nueva ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-68735-X.
- Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de 1970 ed.), Addison-Wesley
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- "Ejemplo de espacio pseudométrico" . PlanetMath .