En la teoría de la probabilidad , un proceso estocástico continuo es un tipo de proceso estocástico que se puede decir que es " continuo " en función de su "tiempo" o parámetro de índice. La continuidad es una propiedad agradable para (las rutas de muestra de) un proceso, ya que implica que se comportan bien en algún sentido y, por lo tanto, son mucho más fáciles de analizar. Aquí está implícito que el índice del proceso estocástico es una variable continua. Algunos autores [1] definen un "proceso continuo (estocástico)" como que solo requiere que la variable índice sea continua, sin continuidad de las rutas de la muestra: en alguna terminología, este sería un proceso estocástico de tiempo continuo, en paralelo a un "proceso de tiempo discreto". Dada la posible confusión, se necesita precaución. [1]
Definiciones
Sea (Ω, Σ, P ) un espacio de probabilidad , sea T un intervalo de tiempo y sea X : T × Ω → S un proceso estocástico. Para simplificar, el resto de este artículo tomará el espacio de estados S como la línea real R , pero las definiciones pasan por mutatis mutandis si S es R n , un espacio vectorial normalizado o incluso un espacio métrico general .
Continuidad con probabilidad uno
Dado un tiempo t ∈ T , se dice que X es continuo con probabilidad uno en t si
Continuidad cuadrática media
Dado un tiempo t ∈ T , se dice que X es continuo en el cuadrado medio en t si E [| X t | 2 ] <+ ∞ y
Continuidad en probabilidad
Dado un tiempo t ∈ T , se dice que X es continuo en probabilidad en t si, para todo ε > 0,
De manera equivalente, X es continua en probabilidad en el tiempo t si
Continuidad en la distribución
Dado un tiempo t ∈ T , se dice que X es continuo en distribución en t si
para todos los puntos x en los que F t es continua, donde F t denota la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X t .
Continuidad de la muestra
Se dice que X es muestra continua si X t ( ω ) es continuo en t para P - casi todos ω ∈ Ω. La continuidad de la muestra es la noción apropiada de continuidad para procesos como las difusiones de Itō .
Continuidad de Feller
Se dice que X es un proceso continuo de Feller si, para cualquier t ∈ T fijo y cualquier función acotada , continua y Σ- mensurable g : S → R , E x [ g ( X t )] depende continuamente de x . Aquí x denota el estado inicial del proceso X , y E x denota expectativa condicionada al evento de que X comience en x .
Relaciones
Las relaciones entre los diversos tipos de continuidad de los procesos estocásticos son similares a las relaciones entre los diversos tipos de convergencia de variables aleatorias . En particular:
- continuidad con probabilidad uno implica continuidad en probabilidad;
- la continuidad en el cuadrado medio implica la continuidad en la probabilidad;
- la continuidad con la probabilidad uno no implica ni está implícita en la continuidad en el cuadrado medio;
- la continuidad en la probabilidad implica, pero no está implicada por, continuidad en la distribución.
Es tentador confundir continuidad con probabilidad uno con continuidad muestral. Continuidad con probabilidad uno en el tiempo t significa que P ( A t ) = 0, donde el evento A t está dado por
y es perfectamente factible para comprobar si es o no es válida para cada t ∈ T . La continuidad de la muestra, por otro lado, requiere que P ( A ) = 0, donde
A es una unión incontable de eventos, por lo que puede que no sea un evento en sí mismo, por lo que P ( A ) puede no estar definido. Lo que es peor, incluso si A es un evento, P ( A ) puede ser estrictamente positivo, incluso si P ( A t ) = 0 para todo t ∈ T . Este es el caso, por ejemplo, del proceso telegráfico .
Notas
Referencias
- Kloeden, Peter E .; Platen, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 23. Berlín: Springer-Verlag. págs. 38–39. ISBN 3-540-54062-8.
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Ver Lema 8.1.4)