teorema de eberhard

En matemáticas, y más particularmente en combinatoria poliédrica , el teorema de Eberhard caracteriza parcialmente los multiconjuntos de polígonos que pueden formar las caras de poliedros convexos simples . Establece que, para un número dado de triángulos, cuadriláteros, pentágonos, heptágonos y otros polígonos distintos de los hexágonos, existe un poliedro convexo con ese número dado de caras de cada tipo (y un número no especificado de caras hexagonales) si y solo si esos números de polígonos obedecen a una ecuación lineal derivada de la fórmula poliédrica de Euler . ^[1]

El teorema lleva el nombre de Victor Eberhard , un matemático alemán ciego, que lo publicó en 1888 en su tesis de habilitación y en forma ampliada en un libro de 1891 sobre poliedros. ^{[1] [2] [3]}

Para un poliedro convexo arbitrario, se pueden definir los números , , , etc., donde se cuentan las caras del poliedro que tienen lados exactos. Un poliedro convexo tridimensional se define como simple cuando cada vértice del poliedro incide exactamente en tres aristas. En un polígono simple, cada vértice es incidente con tres ángulos de caras, y cada arista es incidente con dos lados de caras. Dado que se dan los números de ángulos y lados de las caras, se pueden calcular los tres números (el número total de vértices), (el número total de aristas) y (el número total de caras), sumando todas las caras y multiplicando por un factor apropiado: ^[1]${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{4}}$${\displaystyle p_{5}}$${\displaystyle p_{i}}$${\ estilo de visualización i}$${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización e}$${\ estilo de visualización f}$

Sustituyendo estos valores en la fórmula poliédrica de Euler y limpiando los denominadores se obtiene la ecuación${\displaystyle v-e+f=2}$

que debe ser satisfecha por el conteo de caras de cada poliedro simple. Sin embargo, esta ecuación no se ve afectada por el valor de (ya que su multiplicador es cero) y, para algunas opciones de los otros recuentos de caras, el cambio puede cambiar si existe o no un poliedro con esos recuentos de caras. Es decir, obedecer esta ecuación en el recuento de caras es una condición necesaria para la existencia de un poliedro, pero no una condición suficiente, y una caracterización completa de qué recuentos de caras son realizables debería tener en cuenta el valor de . ^[1]${\displaystyle p_{6}}$${\ estilo de visualización 6-i}$${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle p_{6}}$

Un hexágono divide el cubo en dos copias de un poliedro simple con una cara hexagonal, tres caras de triángulos rectángulos isósceles y tres caras pentagonales irregulares. No es posible formar un poliedro simple usando solo tres triángulos y tres pentágonos, sin el hexágono agregado.