Curva de Edwards

En matemáticas , las curvas de Edwards son una familia de curvas elípticas estudiadas por Harold Edwards en 2007. El concepto de curvas elípticas sobre campos finitos se utiliza ampliamente en la criptografía de curvas elípticas . Las aplicaciones de las curvas de Edwards a la criptografía fueron desarrolladas por Daniel J. Bernstein y Tanja Lange : señalaron varias ventajas de la forma de Edwards en comparación con la forma más conocida de Weierstrass .

para algunos escalares . También el siguiente formulario con los parámetros c y d se denomina una curva de Edwards:${\ Displaystyle d \ in K \ setminus \ {0,1 \}}$

Cada curva de Edwards es biracionalmente equivalente a una curva elíptica en forma de Weierstrass y, por lo tanto, admite una ley de grupo algebraica una vez que se elige un punto para que sirva como elemento neutral. Si K es finito, entonces una fracción considerable de todas las curvas elípticas sobre K se puede escribir como curvas de Edwards. A menudo, las curvas elípticas en forma de Edwards se definen con c = 1, sin pérdida de generalidad. En las siguientes secciones, se supone que c = 1.

Cada curva de Edwards sobre campo de K con característica no es igual a 2 con es birracionalmente equivalente a una curva elíptica sobre el mismo campo: , donde y el punto se asigna al infinito O . Este mapeo biracional induce un grupo en cualquier curva de Edwards.${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1 + dx ^ {2} y ^ {2}}$${\ Displaystyle d \ neq 1}$${\ Displaystyle (1 / e) v ^ {2} = u ^ {3} + (4 / e-2) u ^ {2} + u}$${\ Displaystyle e = 1-d, u = {\ frac {1 + y} {1-y}}, v = {\ frac {2 (1 + y)} {x (1-y)}}}$${\ Displaystyle P = (0,1)}$

Curvas de Edwards de la ecuación x ²  +  y ²  = 1 -  d  · x ² · y ² sobre los números reales para d  = 300 (rojo), d  =  √ 8 (amarillo) yd  = −0,9 (azul)

Grupo de reloj

Suma de dos puntos en la curva de Edwards con d = -30

Duplicar un punto en la curva de Edwards con d = -30