método Egórychev

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El método Egorychev es una colección de técnicas introducidas por Georgy Egorychev para encontrar identidades entre sumas de coeficientes binomiales . El método se basa en dos observaciones. Primero, muchas identidades pueden probarse extrayendo coeficientes de funciones generatrices . En segundo lugar, muchas funciones generadoras son series de potencias convergentes y la extracción de coeficientes se puede realizar mediante el teorema del residuo de Cauchy.(generalmente esto se hace integrando sobre un pequeño contorno circular que encierra el origen). La identidad buscada ahora se puede encontrar usando manipulaciones de integrales. Algunas de estas manipulaciones no son claras desde la perspectiva de la función generadora. Por ejemplo, el integrando suele ser una función racional y la suma de los residuos de una función racional es cero, lo que genera una nueva expresión para la suma original. El residuo en el infinito es particularmente importante en estas consideraciones.

que se afirma ser:${\displaystyle (-1)^{n}{n \elegir j}{n+j \elegir j}.}$

Introducir:${\displaystyle {n+k \elegir k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=\varepsilon }{\frac {(1+z)^{n+k }}{z^{k+1}}}\;dz}$

y :${\displaystyle {k \elegir j}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w|=\gamma}}{\frac {(1+w)^{k}}{w ^{j+1}}}\;dw.}$

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