En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el residuo en el infinito es un residuo de una función holomórfica en un anillo que tiene un radio externo infinito. El infinito es un punto agregado al espacio local para hacerlo compacto (en este caso se trata de una compactificación de un punto ). Este espacio denotadoes isomorfo a la esfera de Riemann . [1] Se puede usar el residuo en el infinito para calcular algunas integrales .
Definición
Dada una función holomórfica f en un anillo (centrado en 0, con radio interior y radio exterior infinito), el residuo en el infinito de la función f se puede definir en términos del residuo habitual de la siguiente manera:
Así, se puede transferir el estudio de en el infinito al estudio de Al origen.
Tenga en cuenta que , tenemos
Motivación
Primero se podría suponer que la definición del residuo de f (z) en el infinito debería ser simplemente el residuo de f (1 / z) en z = 0 . Sin embargo, la razón por la que consideramos en su lugar -f (1 / z) / z 2 es que uno no toma residuos de funciones , sino de formas diferenciales , es decir, el residuo de f (z) dz en el infinito es el residuo de f ( 1 / z) re (1 / z) = - f (1 / z) dz / z 2 en z = 0 .
Ver también
Referencias
- ^ Michèle Audin, Analyze Complexe , notas de la conferencia de la Universidad de Estrasburgo disponibles en la web , págs. 70–72
- Murray R. Spiegel, complejos de variables , Schaum, ISBN 2-7042-0020-3
- Henri Cartan , Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes , Hermann, 1961
- Mark J. Ablowitz y Athanassios S. Fokas, Variables complejas: introducción y aplicaciones (segunda edición), 2003, ISBN 978-0-521-53429-1 , P211-212.