Funciones racionales elípticas

Gráfico de funciones racionales elípticas para x entre -1 y 1 para los órdenes 1, 2, 3 y 4 con factor de discriminación ξ = 1.1. Todos están delimitados entre -1 y 1 y todos tienen el valor 1 en x = 1 .

En matemáticas, las funciones racionales elípticas son una secuencia de funciones racionales con coeficientes reales. Las funciones racionales elípticas se utilizan ampliamente en el diseño de filtros electrónicos elípticos . (Estas funciones a veces se denominan funciones racionales de Chebyshev , que no deben confundirse con otras funciones del mismo nombre ).

Las funciones elípticas racionales se identifican mediante un orden entero positivo n e incluyen un parámetro ξ ≥ 1 llamado factor de selectividad . Una función elíptica racional de grado n en x con factor de selectividad ξ se define generalmente como:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n}(\xi ))}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}(\xi )\right)}$

dónde

• cd () es la función coseno elíptica de Jacobi .
• K () es una integral elíptica completa del primer tipo.
• ${\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )}$es el factor de discriminación , igual al valor mínimo de la magnitud de para .${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$${\displaystyle |x|\geq \xi }$

Para muchos casos, en particular para órdenes de la forma n  = 2 ^a 3 ^b donde a y b son números enteros, las funciones racionales elípticas se pueden expresar usando solo funciones algebraicas. Las funciones racionales elípticas están estrechamente relacionadas con los polinomios de Chebyshev : así como las funciones trigonométricas circulares son casos especiales de las funciones elípticas de Jacobi, los polinomios de Chebyshev son casos especiales de las funciones racionales elípticas.

Expresión como razón de polinomios

Para órdenes pares, las funciones racionales elípticas se pueden expresar como una razón de dos polinomios, ambos de orden n .

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}}}$      (para n pares)

donde están los ceros y los polos, y es una constante de normalización elegida de tal manera que . El formulario anterior también sería válido para los pedidos pares, excepto que para los pedidos impares, habrá un polo en x = ∞ y un cero en x = 0, de modo que el formulario anterior debe modificarse para que diga:${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{pi}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}$

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}}}$      (por n impar)

Propiedades

Gráfica del valor absoluto de la función racional elíptica de tercer orden con ξ = 1.4. Hay un cero en x = 0 y el polo en el infinito. Dado que la función es antisimétrica, se ve que hay tres ceros y tres polos. Entre los ceros, la función sube a un valor de 1 y, entre los polos, la función cae al valor del factor de discriminación L _n

Gráfica del valor absoluto de la función racional elíptica de cuarto orden con ξ = 1.4. Dado que la función es simétrica, se ve que hay cuatro ceros y cuatro polos. Entre los ceros, la función sube a un valor de 1 y, entre los polos, la función cae al valor del factor de discriminación L _n

Gráfico del efecto del factor de selectividad ξ. La función racional elíptica de cuarto orden se muestra con valores de ξ que varían desde casi la unidad hasta el infinito. La curva negra, correspondiente a ξ = ∞ es el polinomio de Chebyshev de orden 4. Cuanto más cerca esté el factor de selectividad a la unidad, más pronunciada será la pendiente en la región de transición entre x = 1 yx = ξ.

Las propiedades canónicas

• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1}$ por ${\displaystyle |x|\leq 1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)=1}$ a ${\displaystyle |x|=1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)>1}$ por ${\displaystyle x>1\,}$
• La pendiente en x = 1 es lo más grande posible
• La pendiente en x = 1 es mayor que la pendiente correspondiente del polinomio de Chebyshev del mismo orden.

La única función racional que satisface las propiedades anteriores es la función racional elíptica ( Lutovac 2001 , § 13.2) . Se derivan las siguientes propiedades: harv error: no target: CITEREFLutovac2001 (help)

Normalización

La función racional elíptica se normaliza a la unidad en x = 1:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1\,}$

Propiedad de anidamiento

La propiedad de anidamiento está escrita:

${\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,}$

Esta es una propiedad muy importante:

• Si se conoce para todo n primo , entonces la propiedad de anidamiento da para todo n . En particular, dado que y puede expresarse en forma cerrada sin el uso explícito de las funciones elípticas de Jacobi, entonces todo para n de la forma puede expresarse así.${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{3}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n=2^{a}3^{b}}$
• De ello se deduce que si se conocen los ceros del primo n , se pueden encontrar los ceros de todos . Usando la relación de inversión (ver más abajo), también se pueden encontrar los polos.${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$
• La propiedad de anidamiento implica la propiedad de anidamiento del factor de discriminación:

${\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))}$

Valores limitantes

Las funciones racionales elípticas están relacionadas con los polinomios de Chebyshev del primer tipo por:${\displaystyle T_{n}(x)}$

${\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,}$

Simetría

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,}$ por n incluso

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,}$ por n impar

Equiripple

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$tiene la misma ondulación de en el intervalo . Por la relación de inversión (ver más abajo), se deduce que tiene equirizado en de .${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle 1/R_{n}(\xi ,x)}$${\displaystyle -1/\xi \leq x\leq 1/\xi }$${\displaystyle \pm 1/L_{n}(\xi )}$

Relación de inversión

Se cumple la siguiente relación de inversión:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,}$

Esto implica que los polos y ceros vienen en pares de tal manera que

${\displaystyle x_{pi}x_{zi}=\xi \,}$

Las funciones de orden impar tendrán un cero en x = 0 y un polo correspondiente en el infinito.

Polos y ceros

Se escribirán los ceros de la función racional elíptica de orden n o cuando se conozca implícitamente. Los ceros de la función racional elíptica serán los ceros del polinomio en el numerador de la función.${\displaystyle x_{ni}(\xi )}$${\displaystyle x_{ni}}$${\displaystyle \xi }$

La siguiente derivación de los ceros de la función racional elíptica es análoga a la de determinar los ceros de los polinomios de Chebyshev ( Lutovac 2001 , § 12.6) . Usando el hecho de que para cualquier z harv error: no target: CITEREFLutovac2001 (help)

${\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,}$

la ecuación definitoria para las funciones racionales elípticas implica que

${\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})}$

de modo que los ceros están dados por

${\displaystyle x_{m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).}$

Usando la relación de inversión, se pueden calcular los polos.

A partir de la propiedad de anidamiento, si los ceros de y pueden expresarse algebraicamente (es decir, sin la necesidad de calcular las funciones de la elipse de Jacobi), entonces los ceros de pueden expresarse algebraicamente. En particular, los ceros de las funciones racionales elípticas de orden pueden expresarse algebraicamente ( Lutovac 2001 , § 12.9, 13.9) . Por ejemplo, podemos encontrar los ceros de la siguiente manera: Definir${\displaystyle R_{m}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{m\cdot n}}$${\displaystyle 2^{i}3^{j}}$ harv error: no target: CITEREFLutovac2001 (help)${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$

${\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.}$

Luego, desde la propiedad de anidamiento y sabiendo que

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}$

donde tenemos:${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}}$

${\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.}$

Estas tres últimas ecuaciones se pueden invertir:

${\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad }$

Para calcular los ceros de que establecimos en la tercera ecuación, calcule los dos valores de , luego use estos valores de en la segunda ecuación para calcular cuatro valores de y, finalmente, use estos valores en la primera ecuación para calcular los ocho ceros de . (Se calculan mediante una recursividad similar). Nuevamente, utilizando la relación de inversión, estos ceros se pueden utilizar para calcular los polos.${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$${\displaystyle X_{8}=0}$${\displaystyle X_{4}}$${\displaystyle X_{4}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$${\displaystyle t_{n}}$

Valores particulares

Podemos escribir las primeras funciones racionales elípticas como:

${\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x\,}$

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}$

dónde

${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}}$

${\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}}$

dónde

${\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}}$

${\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}}$

${\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}}$

${\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}$

${\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,}$ etc.

Ver Lutovac (2001 , § 13) para más expresiones explícitas de orden n = 5 y . harvtxt error: no target: CITEREFLutovac2001 (help)${\displaystyle n=2^{i}\,3^{j}}$

Los factores de discriminación correspondientes son:

${\displaystyle L_{1}(\xi )=\xi \,}$

${\displaystyle L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}}$

${\displaystyle L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1-x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}}$

${\displaystyle L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,}$ etc.

Los ceros correspondientes son donde n es el orden y j es el número del cero. Habrá un total de n ceros para cada pedido.${\displaystyle x_{nj}}$

${\displaystyle x_{11}=0\,}$

${\displaystyle x_{21}=\xi {\sqrt {1-t}}\,}$

${\displaystyle x_{22}=-x_{21}\,}$

${\displaystyle x_{31}=x_{z}\,}$

${\displaystyle x_{32}=0\,}$

${\displaystyle x_{33}=-x_{31}\,}$

${\displaystyle x_{41}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}$

${\displaystyle x_{42}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}$

${\displaystyle x_{43}=-x_{42}\,}$

${\displaystyle x_{44}=-x_{41}\,}$

De la relación de inversión, los polos correspondientes se pueden encontrar por${\displaystyle x_{p,ni}}$${\displaystyle x_{p,ni}=\xi /(x_{ni})}$

Referencias

• MathWorld
• Daniels, Richard W. (1974). Métodos de aproximación para el diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D .; Tošić, Dejan V .; Evans, Brian L. (2001). Diseño de filtros para procesamiento de señales usando MATLAB © y Mathematica © . Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.